Exercícios Resolvidos de Método dos Fasores

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Enunciado

Seja um sistema de fenda dupla tal que a distância entre as fendas é d e a distância até um anteparo é L , como mostrado na figura. A partir da esquerda e direção perpendicular à fenda, incide uma onda luminosa de comprimento de onda λ . Para ângulos não muito grandes, seja I 0 a intensidade da luz no anteparo quando apenas uma fenda está aberta.

a) Obtenha, pelo método que escolher, a intensidade da luz no anteparo quando as fendas estão abertas, em função do ângulo θ e em função de I 0 .

b) Faça um esboço, em função de y , da intensidade da luz no anteparo. Admita que vale a aproximação de pequenos ângulos.

c) Seja d = 5,0   μ m , L = 1,0   m e λ = 600   n m . Encontre quais são as posições em y , entre os máximos de ordem 0 e 1 , para os quais a intensidade é metade da intensidade máxima.

d) Inserindo uma lâmina de vidro com índice de refração n = 1,5 e espessura l = 1,0   μ m em uma das fendas, de quanto se desloca a posição do máximo central no anteparo?

Passo 1

Eai galerinha, bora resolver mais uma questão de física 4!

Nesse problema vamos analisar o famoso experimento de Young que trata da interferência entre duas fendas. No item (a) o enunciado quer que a gente deduza a expressão para a intensidade da luz no anteparo. Para fazer isso, vamos considerar o desenho:

As ondas que passam pelas fendas inferior e superior vão se encontrar no anteparo e daí que vai aparecer a interferência. Vamos chamar fenda inferior de 1 e a superior de 2. Se r 1 for a distância percorrida pela onda 1 e r 2 a distância percorrida pela onda 2 até atingir o anteparo, temos as seguintes expressões para os campos elétricos de cada onda:

E 1 = E 0 cos ⁡ k r 1 - ω t

E 2 = E 0 cos ⁡ k r 2 - ω t

Antes de prosseguir, vou fazer uma pequena digressão:

cos ⁡ A + B = cos ⁡ A cos ⁡ B - s e n   B   s e n   A

cos ⁡ A - B = cos ⁡ A cos ⁡ B - s e n   B   s e n   A

Somando as duas equações:

cos ⁡ A + B + cos ⁡ A - B = 2 cos ⁡ A cos ⁡ B

Agora vamos definir

A + B = a A - B = b → A = a + b 2           e           B = a - b 2

Substituindo na equação acima:

cos ⁡ a + cos ⁡ b = 2 cos ⁡ a + b 2 cos ⁡ a - b 2

Chamando a = k r 1 - ω t e b = k r 2 - ω t , achamos

E t o t a l = E 1 + E 2 = 2   E 0 cos ⁡ k r 1 - ω t + k r 2 - ω t 2 cos ⁡ k r 1 - ω t - k r 2 - ω t 2

Com isso, achamos

E t o t a l = 2   E 0 cos ⁡ k 2 r 1 + r 2 - ω t cos ⁡ k 2 r 1 - r 2

Essa é a expressão para o campo elétrico em algum ponto do anteparo.

Passo 2

Vamos olhar com atenção para o desenho: observe que a diferença de caminho entre os raios é

r 1 - r 2 = x = d   s e n   θ

Além disso, podemos escrever

r 1 = r + d 2 s e n   θ           e           r 2 = r - d 2 s e n   θ

No desenho, r é a distância representada pelo segmento verde entre o ponto médio das fendas e um ponto no anteparo. O ponto no anteparo é determinado pelo ângulo θ que esse segmento faz com o eixo horizontal.

Com essa definição, temos que

r 1 + r 2 = 2 r

Logo, o campo total fica

E t o t a l = 2 E 0 cos ⁡ k r - ω t cos ⁡ k d 2 s e n   θ

O primeiro cosseno representa uma onda que se propaga. Já o segundo cosseno é o termo responsável pela interferência. Como a intensidade é proporcional ao quadrado do campo, podemos escrever

I = I 0 cos 2 ⁡ k d 2   s e n   θ

Lembrando que k = 2 π / λ , achamos

I = I 0 cos 2 ⁡ π d λ s e n   θ

Passo 3

No item (b) queremos escrever a intensidade I em termos de y . Para isso, primeiro escrevemos

tan ⁡ θ = y L

Usando a aproximação de ângulos pequenos:

s e n   θ ≈ tan ⁡ θ = y L

Logo,

π d λ s e n   θ ≈ π d λ ⋅ y L = π d λ L   y

Com isso, a expressão da intensidade é dada por

I I 0 ≈ cos 2 ⁡ π d λ L   y

A seguir fazemos um plot dessa função:

Coloquei o eixo y na vertical para ficar mais fácil comparar com o anteparo.

Passo 4

No item (c), queremos achar o ponto entre os máximos de ordem 0 e ordem 1 em que a intensidade seja metade da intensidade máxima I 0 . Com isso, podemos escrever

I 0 2 = I 0 cos 2 ⁡ π d λ L   y

Logo, tirando a raiz quadrada:

2 2 = cos ⁡ π d λ L y

Para resolver essa equação, escrevemos

π d λ L y = ± π 4 + m ⋅ 2 π

Lembre-se que os ângulos cujo cosseno é + 2 / 2 são ± π / 4 . Aí somamos ou subtraímos múltiplos de 2 π para achar os demais ângulos.

Como estamos interessados no ponto entre os máximos de ordem 0 e de ordem 1 , temos que tomar m = 1 nessa expressão, pois a fase deve estar entre 0 e π . Com isso,

π d λ L y = π 4 → y = λ L 4 d

Daí é só substituir os valores d = 5,0 ⋅ 10 - 6   m , L = 1,0   m e λ = 6 ⋅ 10 - 7   m :

y = 6 ⋅ 10 - 7 ⋅ 1 4 ⋅ 5 ⋅ 10 - 6 = 3 ⋅ 10 - 2   m

Portanto,

y = 3   c m

Passo 5

Para fechar o problema, vamos para o item (d)!

Na situação descrita nos três primeiros itens, a defasagem é devida apenas a diferença de caminho:

Δ ϕ c a m i n h o = π d λ s e n   θ

Todavia, no item (d) é colocada uma lâmina de vidro de espessura l em uma das fendas, enquanto na outra nada é colocado. Isso vai fazer com que apareça uma defasagem extra:

Δ ϕ e x t r a = k a r l - k v i d r o l

Usando a expressão para k :

Δ ϕ e x t r a = 2 π l 1 λ a r - 1 λ v i d r o

No ar temos λ a r = λ , já no vidro

λ v i d r o = λ n v i d r o

Portanto,

Δ ϕ e x t r a = 2 π l λ 1 - n

Essa defasagem aparece devido a diferença de caminho ótico da onda que percorre o vidro e a onda que não percorre! Considerando as duas contribuições:

Δ ϕ = π d λ s e n   θ + 2 π l λ 1 - n

Passo 6

Sem a lâmina de vidro, os máximos eram dados por

π d λ s e n   θ = m   π → s e n   θ = m λ d

Como s e n   θ ≈ y / L , as posições desses máximos eram

y = m λ L d

Agora, considerando a lâmina de vidro, temos que os máximos ocorrem em:

π d λ s e n   θ + 2 π l λ 1 - n = m '   π

Logo,

s e n   θ = m ' λ d + 2 l d n - 1 → y ' = m ' λ L d + 2 l L d n - 1

Considerando máximos de mesma ordem ( m = m ' ), a diferença entre as posições no anteparo será

y ' - y = 2 l L d n - 1

Daí é só substituir os valores:

y ' - y = 2 ⋅ 1,0 ⋅ 10 - 6 ⋅ 1 5,0 ⋅ 10 - 6 1,5 - 1 = 0,2   m

Portanto, o deslocamento das franjas de máximo de interferência devido à lâmina de vidro foi cerca de 20   c m .

E com isso nós terminamos o problema 😊!

Resposta

I = I 0 cos 2 ⁡ π d λ s e n   θ

I I 0 ≈ cos 2 ⁡ π d λ L   y

y = 3   c m

y ' - y = 20   c m

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