Exercícios Resolvidos de Método dos Fasores

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Enunciado

Obtenha o campo elétrico resultante da soma vetorial dos seguintes campos elétricos em uma interferência produzida por um dispositivo com três fendas:

  1. E 1 x , t = 8 . sen ⁡ ( k . x - ω . t )
  2. E 2 x , t = 6 . sen ⁡ ( k . x - ω . t + π 3 )
  3. E 3 x , t = 5 . sen ⁡ ( k . x - ω . t + π )

Passo 1

Queremos calcular a seguinte soma vetorial:

E r = E 1 + E 2 + E 3

Para calcular a soma vetorial, uma boa dica é desenhar os vetores em um diagrama, lembrando que estamos somando os três vetores dados.

Para facilitar, iremos fazer a seguinte substituição:

k . x - ω . t = θ

Desse modo, podemos montar o seguinte diagrama:

Explicitamente, queremos somar:

E r = 8 . sen ⁡ ( θ ) + 6 . sen ⁡ ( θ + π 3 ) + 5 . sen ⁡ ( θ + π )

Podemos ver no diagrama que estão especificados os vetores dados, assim como o vetor soma E r .

O campo elétrico resultante da soma será:

E r x , t = E r . sen ⁡ ( k . x - ω . t + α )

Para determinar E r precisamos recorrer a algumas relações matemáticas, se liga!

Passo 2

Pelo desenho, podemos ver a seguinte relação:

E r . cos ⁡ α = 8 + 6 . cos ⁡ 60 ° - 5

Veja que estamos analisando a soma das componentes de todos os vetores na direção do vetor E 1 .

E r . cos ⁡ α = 6

Analisando a outra componente, temos:

E r . sen ⁡ α = 6 . sen ⁡ 60 °

E r . sen ⁡ α = 5,196

Passo 3

Agora que temos o valor das duas componentes, podemos determinar E r utilizando o teorema de Pitágoras, dá uma olhada!

E r 2 = E r . cos ⁡ α 2 + E r . sen ⁡ α 2

Substituindo os valores, temos:

E r 2 = 6 2 + 5,196 2

E r = 7,937

Passo 4

Precisamos agora determinar o ângulo α , para isso, basta fazer:

tan ⁡ α = E r . sen ⁡ α E r . cos ⁡ α = 5,196 6

α = 40,89 °

O campo elétrico resultante é:

E r x , t = 7,937 . sen ⁡ ( k . x - ω . t + 40,89 ° )

Resposta

E r x , t = 7,937 . sen ⁡ ( k . x - ω . t + 40,89 ° )

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