Exercícios Resolvidos de Método dos Fasores

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Enunciado

Em um experimento de Young, observa-se a intensidade da luz em um anteparo a 4,0   m da fenda dupla. O feixe incidente tem comprimento de onda λ = 500   n m . Observa-se que, a partir do eixo central, a terceira mancha escura está a uma distância de 50   c m do centro da figura de interferência.

a) Qual a diferença de caminho ótico entre os raios que chegam no ponto médio dessa terceira mancha escura?

b) Qual é a distância d entre as fendas?

Suponha que agora há três fendas, equidistantes de d . Faça as questões a seguir literalmente, tomando como conhecido λ .

c) Escreve a expressão para o campo elétrico total em um ponto P na tela, com abertura angular θ em relação ao eixo central, escrevendo o campo elétrico da primeira fenda (a mais superior) da forma E = E 0   s e n   k x - ω t e considerando a diferença de fase pelas fendas subsequentes.

d) Mostre, via método de soma de fasores, que a intensidade da luz em um ponto P da tela de observação é dada por I = I 0 1 + 2 cos ⁡ ϕ 2 , onde ϕ = 2 π d   s e n   θ / λ .

Passo 1

Fala pessoal, prontos para uma questão de física 4?

Nesse problema vamos brincar com o experimento de Young! A seguir faço um esboço da situação descrita para os itens (a) e (b):

Os raios de luz provenientes das fendas se encontram no ponto marcado que corresponde à terceira mancha escura. A diferença de caminho é representada pela letra x . Os demais dados do problema são L = 4,0   m e y = 50   c m .

No item (a) queremos saber a diferença de caminho x . Sabemos, no geral, que se a interferência é destrutiva (mancha escura), a diferença de caminho deve corresponder a um múltiplo ímpar de λ / 2 :

x = 2 m + 1 λ 2

A primeira mancha escura ocorre para m = 0 , a segundo para m = 1 e a terceira para m = 2 :

x = 2 ⋅ 2 + 1 λ 2 = 5 λ 2

Daí é só substituir λ = 500   n m :

x = 5 ⋅ 500   n m 2 = 1250   n m = 1,25   μ m

Portanto, a diferença de caminho é

x = 1,25   μ m

Passo 2

Para o item (b) temos que olhar para o ângulo pintado em laranja, que chamarei de θ . Sabemos que a diferença de caminho é dada por

x = d   s e n   θ

Além disso, usando trigonometria em triângulo retângulo:

tan ⁡ θ = y L = 0,050 4,0 = 0,0125

Vemos que se trata de um ângulo muito pequeno, de modo que podemos usar a aproximação de ângulos pequenos:

s e n   θ ≈ tan ⁡ θ = 0,0125

Portanto, usando o resultado do item (a):

d ≈ 1,25   μ m 0,0125 = 100   μ m

Com isso, vemos que a distância entre as fendas é

d = 100   μ m

Passo 3

Agora vamos paras os itens (c) e (d)! Primeiro vamos olhar para esse esboço das três fendas:

O campo da fenda superior é

E 1 = E 0 s e n   k x - ω t

Já para as demais fendas teremos:

E 2 = E 0   s e n   k x - ω t + ϕ 2

E 3 = E 0   s e n   k x - ω t + ϕ 3

Nosso trabalho é achar as defasagens ϕ 2 e ϕ 3 . Para isso, basta lembrar que a defasagem é o número de onda k vezes a diferença de caminho:

ϕ 2 = k x         e       ϕ 3 = k x '

A diferença de caminho entre o raio 2 e o raio 1 é simplesmente

x = d   s e n   θ

Já para a diferença x ' :

x ' = 2 d   s e n   θ

Portanto,

ϕ 2 = k d   s e n   θ               e           ϕ 3 = 2 k d   s e n   θ

Com isso, os campos são:

E 1 = E 0 s e n   k x - ω t

E 2 = E 0   s e n   k x - ω t + k d   s e n   θ

E 3 = E 0   s e n   k x - ω t + 2 k d   s e n   θ

Somando os três campos:

E = E 0 s e n   k x - ω t + E 0   s e n   k x - ω t + k d   s e n   θ + E 0   s e n   k x - ω t + 2 k d   s e n   θ

Passo 4

No item (d) temos que fazer a soma desses campos para achar a intensidade que é proporcional ao quadrado do campo. Mas antes de fazer a soma, vamos lembrar que k = 2 π / λ . Assim,

k d   s e n   θ = 2 π d   s e n   θ λ = ϕ

Com isso, podemos escrever:

E = E 0 s e n   k x - ω t + E 0   s e n   k x - ω t + ϕ + E 0   s e n   k x - ω t + 2 ϕ

Fiz isso para simplificar um pouco a expressão e porque nossa resposta deve depender desse ϕ !

Para fazer essa soma vamos usar o truque dos fasores no plano complexo. Lembre-se que

e i θ = cos ⁡ θ + i   s e n   θ

Portanto,

s e n   θ = I m e i θ

Com isso, podemos escrever

s e n   k x - ω t = I m e i k x - ω t

s e n   k x - ω t + ϕ = I m e i k x - ω t + ϕ

s e n   k x - ω t + 2 ϕ = I m e i k x - ω t + 2 ϕ

Logo,

E = E 0   I m e i k x - ω t + e i k x - ω t + ϕ + e i k x - ω t + 2 ϕ

É mais fácil trabalhar com exponencias do que com funções trigonométricas. Depois de brincar com as exponenciais, basta tomar a parte imaginária!

Passo 5

Vamos olhar para a expressão

T = e i k x - ω t + e i k x - ω t + ϕ + e i k x - ω t + 2 ϕ

Podemos colocar e i k x - ω t em evidência:

T = e i k x - ω t 1 + e i ϕ + e 2 i ϕ

Agora vamos usar que e i ϕ = cos ⁡ ϕ + i   s e n   ϕ e e 2 i ϕ = cos ⁡ 2 ϕ + i   s e n   2 ϕ . Portanto,

T = e i k x - ω t 1 + cos ⁡ ϕ + i   s e n   ϕ + cos ⁡ 2 ϕ + i   s e n   2 ϕ

T = e i k x - ω t 1 + cos ⁡ ϕ + cos ⁡ 2 ϕ + i s e n   ϕ + s e n   2 ϕ

Aí você deve lembrar que

s e n   2 ϕ = 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ

cos ⁡ 2 ϕ = 2 cos 2 ⁡ ϕ - 1

Logo,

1 + cos ⁡ ϕ + cos ⁡ 2 ϕ = 1 + cos ⁡ ϕ + 2 cos 2 ⁡ ϕ - 1 = cos ⁡ ϕ 1 + 2 cos ⁡ ϕ

s e n   ϕ + s e n   2 ϕ = s e n   ϕ + 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ = s e n   ϕ 1 + 2 cos ⁡ ϕ

Portanto,

T = e i k x - ω t 1 + 2 cos ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ + i   s e n   ϕ = e i k x - ω t 1 + 2 cos ⁡ ϕ   e i ϕ

Ou ainda,

T = 1 + 2 cos ⁡ ϕ   e i k x - ω t + ϕ

Com isso, temos que

E = E 0   I m T = E 0 1 + 2 cos ⁡ ϕ   I m e i k x - ω t + ϕ

Tomando a parte imaginária:

E = E 0 1 + 2 cos ⁡ ϕ   s e n   k x - ω t + ϕ

Passo 6

Para a intensidade, só estamos interessados na amplitude do campo ao quadrado:

I   ∝ E 0 1 + 2 cos ⁡ ϕ 2 = E 0 2   1 + 2 cos ⁡ ϕ 2

Como a amplitude é proporcional ao fator 1 + 2 cos ⁡ ϕ 2 , podemos escrever que

I = I 0   1 + 2 cos ⁡ ϕ 2

Nessa expressão, I 0 corresponde a intensidade do máximo central que ocorrer em θ = 0 , de modo que s e n   θ = 0 → ϕ = 0 .

Com isso terminamos o problema!

Resposta

x = 1,25   μ m

d = 100   μ m

E = E 0 s e n   k x - ω t + E 0   s e n   k x - ω t + k d   s e n   θ + E 0   s e n   k x - ω t + 2 k d   s e n   θ

I = I 0   1 + 2 cos ⁡ ϕ 2

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