Exercícios Resolvidos de Método dos Fasores

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Enunciado

I I I – Obtenha o campo elétrico resultante da soma vetorial dos seguintes campos elétricos em uma interferência produzida por um dispositivo com três fendas:

E 1 x ,   t = 6 ∙ sen ⁡ k x - ω t

E 2 x ,   t = 2 ∙ sen ⁡ k x - ω t + π 3

E 3 x ,   t = 3 ∙ sen ⁡ k x - ω t + π

Passo 1

Para obtermos o campo elétrico resultante, precisamos construir um diagrama de fasores para enxergar o resultado final da soma.

Para isso, vamos observar os ângulos relativos entre E 1 , E 2 e E 3 .

A diferença de fase entre E 1 e E 2 é de π 3 e, por isso, o ângulo entre seus fasores vai ser π 3   r a d que corresponde a um ângulo:

θ = π / 3 π ∙ 180 ° = 60 °

Já entre E 1 e E 3 temos π   r a d , e o ângulo vai ser:

θ = π π ∙ 180 ° = 180 °

Isso corresponde a dizer que E 1 e E 3 serão paralelos mas com sentidos opostos. Além disso, o tamanho dos fasores seria igual à amplitude dos campos elétricos.

O diagrama fica (os tamanhos não estão em escala):

A expressão de cada campo elétrico é a projeção do seu respectivo fasor ao longo do eixo vertical (que é a sua amplitude multiplicada pelo seno do seu ângulo).

Passo 2

Agora, o que podemos fazer é somar as componentes ao longo do eixo obtido quando prolongamos o fasor de E 1 . Isso facilita muito o nosso trabalho!

Com isso, ficamos com:

E r m cos ⁡ ϕ = 6 + 2 cos ⁡ π 3 - 3 = 3 + 2 ∙ 1 2 = 4

E r m sen ⁡ ϕ = 2 sen ⁡ π 3 = 2 ∙ 3 2 = 3

Podemos então achar a amplitude de E r e s :

E r m 2 = E r e s 2 cos 2 ⁡ ϕ + E r e s 2 sen 2 ⁡ ϕ = 16 + 3 = 19

E r m = 19 ≈ 4,36

Passo 3

Agora, precisamos achar o ângulo ϕ .

Para isso, temos duas relações que podemos usar com uma calculadora!

19 cos ⁡ ϕ = 4

19 sen ⁡ ϕ = 3

Vamos usar a primeira.

cos ⁡ ϕ = 4 19

ϕ ≈ 0,409   r a d = 23,41 °

A expressão final do campo elétrico resultante vai ser a projeção do fasor de E r m no eixo vertical.

E r e s = E r m sen ⁡ α + ϕ = 4,36 ∙ sen ⁡ k x - ω t + 0,409

Resposta

E r e s = 4,36 ∙ sen ⁡ k x - ω t + 0,409

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