Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 287, exercício 2

Ajuste os dados abaixo pelo método dos mínimos quadrados utilizando:

a Uma reta

b Uma parábola do tipo a x 2 + b x + c

Trace as duas curvas no gráfico de dispersão dos dados. Como você compararia as duas curvas com relação aos dados?

Passo 1

a Queremos aproximar a função para uma reta, então o polinômio interpolador será do tipo:

φ x = c 1 x + c 2

Sabemos que o polinômio será do tipo:

φ x = c 1 h 1 ( x ) + c 2 h 2 ( x )

Logo comparando as duas equações concluímos que : h 1 x = x e h 2 x = 1 .

Vamos construir os vetores:

  • h 1 será o vetor com todos os valores de x:
  • h 1 - = 1,2 , 3,4 , 5,6 , 7,8

  • h 2 será o vetor constante pois     h 2 x = 1 :
  • h 2 - = 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,1

  • f - será o vetor com todos os valores de y:
  • f -   = 0.5,0.6,0.9,0.8,1.2,1.5,1.7,2.0

    Passo 2

    Precisamos resolver o seguinte sistema:

    Sendo a matriz A , que vai ser 2 × 2 já que temos duas funções h k x , como:

    E o vetor B :

    Vamos calcular o termos da matriz A:

    =   1 * 1 + 2 * 2 + 3 * 3 + 4 * 4 + 5 * 5 + 6 * 6 + 7 * 7 + 8 * 8

    =   1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 = 204

    = 1 * 1 + 2 * 1 + 3 * 1 + 4 * 1 + 5 * 1 + 6 * 1 + 7 * 1 + 8 * 1

    = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36

    = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 3 + 1 * 4 + 1 * 5 + 1 * 6 + 1 * 7 + 1 * 8

    = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36

    = 1 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1

    = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8

    Então a matriz A é:

    Fazendo as mesmas contas do produto escalar agora para a matriz B, obtemos:

    Obtemos agora o sistema:

    Que nos dá as seguintes equações:

    204 c 1 + 36 c 2 = 50,5

    36 c 1 + 8 c 2 = 9,2

    Isolando c 2 da segunda equação obtemos:

    c 2 = 9,2 - 36 c 1 8

    Substituindo c 2 na primeira equação podemos encontrar o valor de c 1 e consequentemente c 2 :

    c 1 = 0.217

    c 2 = 0.175

    Com isso, chegamos a resposta:

    φ x = 0.217 x + 0.175

    Passo 3

    b Agora queremos aproximar para uma parábola, então o polinômio será do tipo:

    φ x = c 1 x 2 + c 2 x + c 3

    Sabemos que o polinômio será do tipo:

    φ x = c 1 h 1 ( x ) + c 2 h 2 ( x ) + c 3 h 3 ( x )

    Logo comparando as duas equações concluímos que : h 1 x = x 2 , h 2 x = x e h 3 x = 1 .

    Temos então os vetores:

  • h 1 será o vetor com todos os valores de x² pois h 1 x = x ² :
  • h 1 - = 1,4 , 9,16,25,36,49,64

  • h 2 será o vetor com valores de x pois     h 2 x = x :
  • h 2 - = 1,2 , 3,4 , 5,6 , 7,8

  • h 3 será o vetor constante pois     h 3 x = 1 :
  • h 3 - = 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,1

  • f - será o vetor com todos os valores de y:

f - = 0.5,0.6,0.9,0.8,1.2,1.5,1.7,2.0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos resolver o seguinte sistema:

Sendo a matriz A :

E o vetor B :

Calculando os termos da matriz A temos:

O mesmo para o vetor B:

Obtemos o sistema:

Onde obtemos as seguintes equações:

8772 c 1 + 1296 c 2 + 204 c 3 = 319,1

1296 c 1 + 204 c 2 + 36 c 3 = 50,5

204 c 1 + 36 c 2 + 8 c 3 = 9,2

Resolvendo o sistema obtemos:

c 1 = 0.015

c 2 = 0.077

c 3 = 0.407

Com isso, chegamos a:

φ x = 0.015 x 2 + 0.077 x + 0.407

Passo 3

Traçando as duas curvas no gráfico de dispersão temos:

Quando fazemos esse tipo de aproximação, sempre há um erro, se calcularmos qual aproximação tem o melhor erro podemos compará-las. O de resíduo é justamente o erro entre os pontos conhecidos da função e o polinômio interpolador, e é calculado por:

∑ k = 1 m f x k - φ x k 2

E a mesma fórmula tanto para a reta e para a parábola.

Vamos montar uma tabelinha para cada caso pra ficar mais fácil. Quem tiver a menor soma de resíduos será a melhor interpolação.

Para a reta temos:

E para a parábola:

Logo, temos que o resíduo da parábola é menor, então ela é uma aproximação melhor.

Resposta

a φ x = 0.217 x + 0.175

b φ x = 0.015 x 2 + 0.077 x + 0.407

A parábola é a melhor aproximação pois tem um resíduo de 0.05062 enquanto a reta tem um resíduo de 0.08836 .

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