Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

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Enunciado

Numa pesquisa da Secretaria da Saúde coletou-se N de pessoas infectadas pelo vírus H1N1 num tempo t dado pela tabela abaixo. Admitindo-se que uma reta ajusta os dados da tabela, quantas pessoas estarão infectadas no 2º dia?

Passo 1

Fala aí, vc decidiu fazer engenharia né? Que que vc tem a ver com H1N1, mas vamo lá né?!

O professor tá pedindo pra ajustarmos a tabela por uma reta, então

φ t = c 1 t + c 2

Agora precisamos descobrir esses coeficientes c 1 e c 2 .

A função que acompanha c 1 chamaremos de h 1 e nesse caso h 1 = t . Podemos dizer também que c 2 está sendo multiplicado por h 2 = 1

Passo 2

Agora vamos montar a tabela que vai ajudar pacas a aplicar o método

Se liga, a primeira coluna é do h 1 , como h 1 = t , basta repetir os valores de t dá tabela que o professor deu.

A segunda é a coluna de h 2 , e ele é igual a 1. Na última coluna colocamos os valores de y diretinho da tabela que o professor deu.

Passo 3

Para achar os coeficientes c 1   e c 2 vamos fazer o seguinte óh:

Para achar ∑ h 1 h 1 basta multiplicar cada elemento da primeira coluna por ele mesmo e depois soma-los.

∑ h 1 h 1 = 1 2 + 3 2 + 4 2 + 8 2 = 90

Agora vamos achar ∑ h 1 h 2 ou ∑ h 2 h 1 , pra isso é só multiplicar a primeira coluna pela segunda e somar

∑ h 1 h 2 = ∑ h 2 h 1 = 1 * 1 + 3 * 1 + 4 * 1 + 8 * 1 = 16

Para acharmos ∑ h 2 h 2 é a mesma idéia, só multiplicar os valores da coluna h 2   por ela mesma e somar.

∑ h 2 h 2 = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 4

Colocando na tabela temos:

Agora basta achar ∑ h 1 f ( t ) e ∑ h 2 f ( t ) , para isso vamos seguir a mesma ideia de multiplicar elemento a elemento as colunas e somar todo mundo.

∑ h 1 f ( t ) = 1 * 3.5 + 3 * 7.4 + 4 * 9.2 + 8 * 14.8 = 180.9

∑ h 2 f ( t ) = 1 * 3.5 + 1 * 7.4 + 1 * 9.2 + 1 * 14.8 = 34.9

Passo 4

Se vc já sacou, essa parte de baixo de baixo é um sistema, Ax=b com ele a gente vai encontrar os coeficientes c 1 e c 2

90 16 16 4 c 1 c 2 = 180.9 34.9

Agora é só resolver o sistema né!!!

c 1 = 1.589

c 2 = 2.371

Então

φ ( t ) = 1.589 t + 2.371

Passo 5

Como o professor quer saber pro 2º dia, basta substituir t=2

φ t = 2 = 1.589 * ( 2 ) + 2.371

φ t = 2 = 5.5

Resposta

5.5 milhares de pessoas

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