Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

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Enunciado

3) Determine o polinômio p de grau menor ou igual a 2 que melhor aproxima a função f t = 1 - 2 t - 5 no intervalo 2,3 pelo MMQ em relação ao produto interno f , q = ∫ 2 3 f t g t d t . São dados os polinômios de Legendre (ortogonais em - 1,1 ) p 0 = 1 , p 1 = x e p 2 = x 2 - 1 / 3 e os valores p 0 , p 0 = 2 , p 1 , p 1 = 2 / 3 e p 2 , p 2 = 8 / 45 , em relação ao produto interno f , g = ∫ - 1 1 f x g x d x .

Passo 1

Falaaa... beleza??

Dessa questão vamos determinar o polinômio p de grau menor ou igual a 2 que melhor aproxima a função dada. Essa é uma questão do Método de mínimos quadrados caso contínuo.

Queremos achar um polinômico com a cara:

p x = a + b x + c x 2

Passo 2

Como foram dados os polinômios de Legendre, que o produto interno é variando de - 1 a 1 , então podemos fazer a mudança de variável:

x = 2 t - 5 → t = x + 5 2

d x = 2 d t → d t = d x 2

E a função:

f x = 1 - 2 x + 5 2 - 5

f x = 1 - x

Passo 3

Agora temos que calcular um montão de produto interno, né? Ouuuu não... repara que a gente iria calcular o produto interno entre os polinômios de legendre, né? tipo   p 0 , p 1 ,     p 0 , p 2 ... Mas eles são ortogonais, então são todos iguais a zero.

Só vamos precisar calcular os produtos internos com f :

  f , p 0 = ∫ - 1 1 1 - x 1 d x / 2   = 1 2

  f , p 1 = ∫ - 1 1 1 - x x d x / 2   = 0

f , p 2 = ∫ - 1 1 1 - x x 2 - 1 / 3 d x / 2   = - 1 12

Passo 4

Montando a forma matricial:

2 0 0 0 2 3 0 0 0 8 45 a b c = 1 2 0 - 1 12

Resolvendo o sistema:

a = 1 4

b = 0

c = - 15 32

Então o polinômio fica:

p x = a p 0 x + b p 1 x + c p 2 x

p x = 1 4 - 15 32 x 2 - 1 3

Voltando pra t :

p t = 1 4 - 15 32 2 t - 5 2 - 1 3

Resposta

p t = 1 4 - 15 32 2 t - 5 2 - 1 3

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