Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

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Enunciado

Dada a tabela abaixo, faça o gráfico de dispersão dos dados e ajuste uma curva da melhor maneira possível:

Passo 1

O nosso gráfico de dispersão vai ficar assim:

O enunciado não especificou que tipo de curva ele quer, só disse para ajustá-la da melhor forma possível. Pra mim esse gráfico ta lembrando bastante o de ln ⁡ x né? Bom, então vamos usar como a função φ x o seguinte:

φ x = c 1 ln ⁡ x + c 2

Logo, h 1 x = ln ⁡ x e h 2 x = 1 .

Passo 2

Temos então os vetores:

h 1 ¯ = - 0.693 , - 0.288,0 , 0.405,0.693,0.916,1.099

h 2 ¯ = 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1

f ¯ = - 2.8 , - 0.6,1 , 3.2,4.8,6 , 7

Agora montamos a matriz A que vai ser 2 × 2 já que temos duas funções h k x :

A = h 1 ¯ , h 1 ¯ h 1 ¯ , h 2 ¯ h 2 ¯ , h 1 ¯ h 2 ¯ , h 2 ¯ = 3.255 2.133 2.133 7

E o vetor b :

b = f ¯ , h 1 ¯ f ¯ , h 2 ¯ = 19.926 18.6

Resolvendo o sistema:

3.255 2.133 2.133 7 c 1 c 2 = 19.926 18.6

c 1 = 5.473

c 2 = 0.989

Passo 3

Com isso, chegamos a:

φ x = 5.473 ln ⁡ x + 0.989

O exercício não pediu isso, mas tomei a liberdade de traçar a curva que calculamos em cima do gráfico de dispersão e olha como ficou:

Eu diria que foi uma aproximação excelente haha.

Resposta

φ x = 5.473 ln ⁡ x + 0.989

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