Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

Lista 4 – Professor Mauro – UFRJ – Questão 9a

A tabela abaixo representa o número oficial aproximado de pessoas com dengue, ou seja, infectados pelo mosquito Aedes aegypti no Rio de Janeiro:

Os dados relativos 2002 1,2 correspondem ao número de casos registrados nos meses de janeiro e fevereiro.

Usando uma reta, estime o número de infectados no mês de março de 2002 , pelo método dos mínimos quadrados.

Passo 1

A primeira coisa que temos que perceber é que a tabela trata de 2 horizontes de tempo diferentes. Começa de ano a ano e depois passa a funcionar de mês a mês.

Como estamos querendo estimar o número de casos em um mês de 2002 só faz sentido considerarmos os dois últimos pontos da tabela que também tratam de mês. Então ficamos só com:

E como o enunciado pede para estimarmos usando uma reta:

φ x = c 1 x + c 2

Logo, h 1 x = x e h 2 x = 1 . Temos então que:

h 1 ¯ = 1,2

h 2 ¯ = 1,1

f ¯ = 41600,42700

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Passo 2

Agora montamos a matriz A que vai ser 2 × 2 :

A = h 1 ¯ , h 1 ¯ h 1 ¯ , h 2 ¯ h 2 ¯ , h 1 ¯ h 2 ¯ , h 2 ¯ = 5 3 3 2

E o vetor b :

b = f ¯ , h 1 ¯ f ¯ , h 2 ¯ = 127000 84300

Resolvendo o sistema:

5 3 3 2 c 1 c 2 = 127000 84300

c 1 = 1100

c 2 = 40500

Com isso, chegamos a:

φ x = 1100 x + 40500

Passo 3

Aproximando para o terceiro mês, temos:

φ 3 = 1100 3 + 40500 = 43800

Então nossa estimativa é de 43800 infectados no mês de março.

Resposta

43800 infectados no mês de março de 2002 .

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