Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

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Enunciado

2)

a) Mostre que a função g x = x 2 + e - x tem um único ponto de mínimo positivo.

Passo 1

Falaa... tudo bem???

Nessa questão vamos mostrar que a função dada tem um único ponto de mínimo positivo.

Pra isso vamos lembrar que pra achar ponto de mínimo ou máximo de uma função temos que achar quando a derivada dela é igual a zero.

E pra mostrar que existe uma raiz num certo intervalo de uma função, vamos usar o teorema de Bolzano. Seja uma função contínua num intervalo [ a , b ] e se f a f b < 0 , então existe uma raiz nesse intervalo.

Vamos derivar de novo e mostrar que se a derivada naquele intervalo não muda de sinal, então a raiz é única.

Passo 2

Como queremos o ponto de mínimo de g x = x 2 + e - x , então vamos derivar:

g ' x = 2 x - e - x

Pra mostrar que existe uma raiz em algum intervalo que vamos escolher um intervalo de maneira estratégica. Eu acho que o intervalo de 0 a 1 é bacana de escolher.

Temos:

g ' 0 = - 1

g ' 1 = 2 - 1 e

Como g ' 0 < 1 e g ' 1 > 0 , então:

g ' 0 g ' 1 < 0

E, pelo teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz nesse intervalor.

Passo 3

Pra mostrar que essa raiz é única, vamos derivar de novo:

g ' ' x = 2 + e - x

E analisar no intervalo:

g ' ' 0 = 2

g ' ' 1 = 2 + 1 e

Como as derivadas não mudam de sinal, então a raiz é única.

Resposta

Demonstração nos passos

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