Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

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Enunciado

Dada a tabela:

Calcular f 1.22 usando regressão linear.

Passo 1

Bom, esse é um exercício inicial de mínimos quadrados, bem tranquilo né? A dificuldade vai aumentando nos outros exercícios. Bora resolver essa bagaça!!

Regressão linear é simplesmente a aproximação por mínimos quadrados usando uma reta. Então:

φ x = c 1 x + c 2

Logo, h 1 x = x e h 2 x = 1 .

Temos então os vetores:

h 1 ¯ = 1,1.05,1.1,1.15,1.2,1.25,1.3,1.35

h 2 ¯ = 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,1

f ¯ = 1,1.01,1.02,1.04,1.05,1.06,1.065,1.08

Então podemos montar essa tabelinha aqui:

Passo 2

Agora montamos a matriz A que vai ser 2 × 2 já que temos duas funções h k x :

A = h 1 ¯ , h 1 ¯ h 1 ¯ , h 2 ¯ h 2 ¯ , h 1 ¯ h 2 ¯ , h 2 ¯ = 11.15 9.4 9.4 8

Ou seja, para h 1 ¯ , h 1 ¯ , multiplicamos o vetor h 1 ¯ por ele mesmo e somamos os resultados:

1 2 + 1.05 2 + 1.1 2 + 1.15 2 + 1.2 2 + 1.25 2 + 1.3 2 + 1.35 2 = 11.15  

Em h 1 ¯ , h 2 ¯ , multiplicamos o vetor h 1 ¯ pelo vetor h 2 ¯ e somamos os resultados e assim por diante. Chegando na matriz A .

E o vetor b :

b = f ¯ , h 1 ¯ f ¯ , h 2 ¯ = 9.806 8.325

O raciocínio na montagem da matriz b é o mesmo da montagem de A , ou seja, em f ¯ , h 1 ¯ , multiplicamos f ¯ pelo h 1 ¯ e somamos os resultados e em f ¯ , h 2 ¯ , multiplicamos f ¯ por h 2 ¯ e somamos os resultados, chegando na matriz b .

Passo 3

Temos que resolver o sistema:

11.15 9.4 9.4 8 c 1 c 2 = 9.806 8.325

Então, fazendo a multiplicação das matrizes:

11.15 c 1 + 9.4 c 2 = 9.806

9.4 c 1 + 8 c 2 = 8.325

Resolvendo esse sistema, chegamos a:

c 1 = 0.23

c 2 = 0.771

Com isso, chegamos a:

φ x = 0.23 x + 0.771

Aproximando o valor pedido:

f 1.22 ≈ φ 1.22 = 0.23 1.22 + 0.771 = 1.0516

Resposta

f 1.22 ≈ 1.0516

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