Exercícios Resolvidos de Operações com vetores

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Enunciado

Considere uma bola B [ a ; r ] de centro arbitrário, contendo um subconjunto X de R n . Mostre que X é limitado.

Passo 1

Faaaaaaala galera do RA, como é que vocês estãooo?

Nessa questão temos uma bola (não é de futebol, calma lá), que nada mais é do que um conjunto de pontos, centrada em a e com raio r .

Daí, é falado que essa bola contém um subconjunto X dentro do R n .

Precisamos mostrar que esse subconjunto X é limitado. Ou seja, todos os pontos dentro do conjunto X estão dentro de uma bola de raio finito.

Os pontos que pertencem à bola B , devem obedecer a equação:

z - a ≤ r

A ideia é supormos inicialmente que X não é limitado e usar a desigualdade acima para chegar em um absurdo lógico.

Vamos nessa!

Passo 2

Se X não é limitado, então existem pontos x 1 e x 2 tais que a distância entre eles tende ao infinito:

x 2 - x 1 → ∞

Mas, se como X é subconjunto de B , deve valer que:

x 1 - a < r

x 2 - a < r

Vamos voltar para a distância entre x 2 e x 1 , para fazer aparecer as desigualdades acima podemos usar que:

x 2 - x 1 = x 2 - a - x 1 - a

Logo:

x 2 - x 1 = x 2 - a - x 1 - a

Daí, pela desigualdade triangular:

x 2 - a - x 1 - a < x 2 - a + - x 1 - a

Como o sinal de negativo não vai fazer diferença dentro desse módulo, chegamos que:

x 2 - a - x 1 - a < x 2 - a + x 1 - a

Porém:

x 2 - x 1 = x 2 - a - x 1 - a

Ou seja, o que realmente encontramos foi que:

x 2 - x 1 < x 2 - a + x 1 - a

Mas, como:

x 1 - a < r

x 2 - a < r

Encontramos que:

x 2 - x 1 < 2 r

Mas isso é um ABSURDO, porque supomos que o conjunto X não era limitado. Assim, vimos que:

x 2 - x 1 → ∞

Por isso, concluímos que X é limitado.

E aí, curtiram a solução galera?

Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.

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