Exercícios Resolvidos de Operações com vetores

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Enunciado

Mostre que toda bola aberta B ⊂ R n é convexa.

Isto significa que, as bolas relativas a diferentes normas em R n tem em comum o fato de serem convexas.

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão precisamos provar que qualquer bola aberta no R n é convexa. Mas, vamos com calma, o que seria uma bola aberta?

É um conjunto de pontos, cuja distância em relação a um ponto fixo é menor do que um certo valor constante. Matematicamente, é o mesmo que dizer:

z - C < r

onde C é o centro da bola e r o raio. Qualquer ponto z que satisfaça a equação acima pertence à bola. Tranquilo?

Dizer que essa bola é convexa significa que se ligarmos quaisquer dois pontos dentro dessa bola, a ligação estará toda dentro da bola também. Ou seja, para provarmos que a bola é convexa basta mostrarmos que para quaisquer dois pontos ∈ B , o segmento de reta que os une também pertence a B .

Sacaram a ideia?

Então, vamos escolher pontos genéricos e usar a relação que define o pertencimento de um ponto a B para demonstrar o que foi pedido.

Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊

Passo 2

Vamos considerar dois pontos que pertencem a B :

x , y ∈ B

sendo c o centro da bola.

Então, um ponto genérico no segmento de reta que une x e y pode ser escrito como:

z = t x + 1 - t y ,             t ∈ [ 0,1 ]

Para mostrar que a bola é convexa esse ponto precisa pertencer a B . Usando a relação que define esse pertencimento, precisamos ter:

z - c < r

É o que vamos tentar provar!

∴ z - c = t x + 1 - t y - c

Como:

c = t c + c - t c

= t c + 1 - t c

Podemos reescrever a equação como:

t x - c + 1 - t y - c

Pela desigualdade triangular, sabemos que:

t x - c + 1 - t y - c < t x - c + 1 - t y - c

Como t ∈ [ 0,1 ] , podemos tirar do módulo tanto t como ( 1 - t ) . Daí:

t x - c + 1 - t y - c = t x - c + 1 - t y - c

Como x , y ∈ B , é verdade que:

x - c < r

y - c < r

Logo:

t x - c + 1 - t y - c < t r + 1 - t r

Então:

t x - c + 1 - t y - c < r

Como o lado esquerdo da inequação acima é justamente:

z - c = t x - c + 1 - t y - c

Concluímos que:

z - c < r

Portanto, qualquer ponto genérico no segmento que une dois pontos quaisquer da bola também pertence à bola.

Isso nos faz concluir que a bola é convexa.

Sacaram?

É isso gente, muito obrigado pela atenção!

Até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

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