Exercícios Resolvidos de Operações com vetores

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Enunciado

Considere a norma da soma em R 2 , então a norma de z = ( x , y ) é dada por

z S = x + | y |

Faça um esboço de uma bola de centro C = ( a , b ) e raio r .

Passo 1

Olá pessoaaal, como vocês estão?

Nessa questão recebemos a seguinte definição de norma no R 2 :

Se z = ( x , y ) , então:

z M = x + | y |

Ou seja, se tomarmos por exemplo, o vetor:

u → = ( 3,1 )

Então:

u = x + | y | = 4

Usando essa definição, o problema nos pede para fazer um esboço de uma bola de centro C = ( a , b ) e raio r .

O ponto mais importante para sacarmos a ideia dessa questão é entender que apenas pertencerão à bola os pontos cuja norma do máximo com relação ao centro C for menor ou igual a r , beleza?

Então, vamos usar essa ideia pra matar a questão 😊

Passo 2

Vamos começar imaginando que o ponto ( c , d ) esteja na borda da bola de centro C . Então, deve valer que:

Se:

u = c , d - a , b = c - a ,   d - b

Então:

u M = c - a + d - b = r

Analisando essa fórmula, temos que o maior e menor valores de c ocorrem quando:

d - b = 0

Daí, temos:

c - a = r

Abrindo o módulo, vem duas possibilidades para c :

c = a ± r

E:

d = b

Analogamente, maximizando o valor de d - b , encontramos:

d = b ± r

E:

c = a

Daí, temos então 4 pontos na extremidade da nossa bola:

{ a - r ,   b ,   a + r ,   b ,   a , b - r ,   a , b + r }

Massa!

Passo 3

Se pensarmos agora em um ponto P na borda da circunferência tal que o vetor distância em relação a C seja o vetor ( x , y ) , devemos ter que:

| | ( x , y | ​ S = r

Então:

x + y = r

Logo:

y = r - | x |

Podemos abrir essa equação de 4 formas:

y = r - x

y = r + x

y = - r + x

y = - r - x

Essas 4 retas devem estar justamente ligando os 4 pontos extremos que plotamos antes.

Prontinho! Essa deve ser a nossa bola centrada em C quando definimos a norma como a soma no R 2 .

Resposta

Resposta no texto.

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