Exercícios Resolvidos de P-Série

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Enunciado

Considere a série numérica

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 1 + 1 n α

Podemos afirmar que:

a) A série converge se e só se α = 1 .

b) A série diverge se e só se α > 0 .

c) A série converge se e só se α > 1 .

d) A série diverge para todo α ∈ R .

e) A série converge se e só se α < 0 .

Passo 1

Fala galera, bora fazer uma questão de prova da POLI!

Nesse problema você vai ter que lembrar um pouco do limite fundamental:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = e

Queremos saber para qual valor de α a série converge

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 1 + 1 n α

A primeira sacada é multiplicar o logaritmo por n / n :

ln ⁡ 1 + 1 n = n n ⋅ ln ⁡ 1 + 1 n = 1 n ln ⁡ 1 + 1 n n

Portanto,

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 1 + 1 n α = ∑ n = 1 ∞ 1 n ln ⁡ 1 + 1 n n α

Passo 2

Vemos que o termo geral da série é

a n = 1 n ln ⁡ 1 + 1 n n α

Quando n → ∞ (que é a situação interessa para analisar a convergência), devido ao limite fundamental, temos

a n ~ ln ⁡ e n α = 1 n α

Logo, para n muito grande, a série se comporta como uma p-série com p = α . Sabemos que para uma p-série ser convergente, devemos ter p > 1 . Portanto, a condição para essa série ser convergente é

α > 1

Isso nos leva a alternativa C!

Resposta

Alternativa C.

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