Exercícios Resolvidos de P-Série

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Enunciado

A série ∑ k = 1 ∞ k k k 2 é uma p-série com p < 1 , logo divergente.

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Olá, tudo bem? O problema deu uma série:

∑ k = 1 ∞ k k k 2

E nos afirmou que ela é uma p-série com p < 1 , e afirmou que essa série, por isso, é divergente.

Bom, primeiro precisamos descobrir o que é uma p-série, né?

Uma p-série é uma série que pode ser escrita nesse formato aqui

∑ k = 1 ∞ 1 k p

E podemos ter dois resultados possíveis:

  • Quando p > 1 a série é convergente
  • Quando p ≤ 1 a série é divergente

Então a ideia aqui é escrever nossa p-série naquela forma ali, com o k no denominador, e determinar qual é o valor de p. E aí ver se a afirmativa é falsa ou verdadeira. Certo?

Passo 2

A nossa série:

∑ k = 1 ∞ k k k 2

Como a base é a mesma, podemos organizar essas potências em um mesmo denominador:

∑ k = 1 ∞ k k k 2 = ∑ k = 1 ∞ k . k 1 2 k 2 = ∑ k = 1 ∞ k 3 2 k 2 = ∑ k = 1 ∞ k - 1 / 2

Como o expoente é negativo, podemos inverter a base (no nosso caso é k ) e assim trocar o sinal do expoente:

∑ k = 1 ∞ k - 1 2 = ∑ k = 1 ∞ 1 k 1 / 2

E agora ela está na forma

∑ k = 1 ∞ 1 k p

Passo 3

Comparando as duas temos o seguinte:

∑ k = 1 ∞ 1 k p = ∑ k = 1 ∞ 1 k 1 2

Aí temos que p = 1 2 = 0 , 5 < 1

Portando, p < 1 . E concluímos que a série é divergente!

Então a afirmativa é verdadeira.

Até a próxima!

Resposta

v e r d a d e i r o

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