Exercícios Resolvidos de P-Série

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Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

b)

∑ n = 1 ∞ n + 4 n 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar se a seguinte série S converge ou diverge:

S = ∑ n = 1 ∞ n + 4 n 2

E aí??? Como a gente resolve isso???

Bom... para início de conversa, podemos separar o somatório da seguinte forma:

∑ n = 1 ∞ n + 4 n 2 = ∑ n = 1 ∞ n n 2 + ∑ n = 1 ∞ 4 n 2 ∴

∑ n = 1 ∞ n + 4 n 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2 + 4 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Agora, podemos analisar cada uma das séries separadamente!!

Mas antes, é interessante sabermos que a série P é dada da seguinte forma:

∑ n = 1 ∞ 1 n p

Onde se p > 1 a série irá convergir e se p ≤ 1 a série irá divergir.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Primeiramente vemos que ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2 .

Note que nesse caso p = 3 2 > 1 , ou seja, a série converge.

Depois, analisando ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 , vemos que p = 2 > 1 , ou seja, a série também converge aqui.

Dessa forma, como ambas as séries convergem, então a série ∑ n = 1 ∞ n + 4 n 2 também converge!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série converge

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