Exercícios Resolvidos de P-Série

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Enunciado

(b) Determine se a sentença abaixo é verdadeira ou falsa.

“Se a série ∑ a n b n é convergente, então as séries ∑ a n e ∑ b n são ambas convergentes.”

Passo 1

Show, vamos lá. Para resolver esse problema, vamos lembrar de duas séries fundamentais. A série harmônica:

∑ 1 n

Que diverge. E a p-série:

∑ 1 n 2

Com p = 2 que converge. Podemos fazer então:

a n = b n = 1 n

E então, teremos: ∑ a n b n = ∑ 1 n ⋅ 1 n = ∑ 1 n 2

E de fato, temos que ∑ a n b n é convergente, mas

∑ a n = ∑ b n = ∑ 1 n

Divergem. Logo encontramos um contraexemplo para a preposição e ela será falsa.

Resposta

Falsa. Contraexemplo:

∑ a n = ∑ b n = ∑ 1 n   ( d i v e r g e )

∑ a n b n = ∑ 1 n ⋅ 1 n = ∑ 1 n 2   c o n v e r g e

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