Exercícios Resolvidos de P-Série

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Enunciado

9 - Determine se a série converge ou diverge.

f) ∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2 n

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos determinar se a serie dada por ∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2 n converge ou diverge.

Parece de boa? 🤔

Para determinar a convergência dessa série podemos usar a ideia de P-Séries...

Uma P-Série é dada por   ∑ n = 1 ∞ 1 n p e podemos determinar sua convergência apenas pelo valor de p ...

Se p > 1 a série converge, mas se p ≤ 1 a série diverge!

Sacou a ideia? 😊

Passo 2

Mas talvez você deva estar pensando... “onde você ta vendo P-Série aqui?”

Podemos manipular nossa série como a soma de duas séries, veja só

∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2 n = ∑ n = 1 ∞ n n 2 n + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n

Simplificando...

∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n n + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n

Simplificando o denominador das séries, temos

∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 2

Nesse caso, conseguimos desmembrar nossa serie original por duas P-Séries em que em uma temos p = 3 2 e na outra p = 5 2 ...

Como em ambas p > 1 , então ambas convergem, logo, ∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2 n também converge.

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

Converge.

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