Exercícios Resolvidos de P-Série

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Enunciado

Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo

d) Toda sequência periódica convergente é constante. (Uma sequência ( x n ) diz-se periódica quando existe p ∈ N tal que x n + p = x n para todo n ∈ N )

Passo 1

Oi galera, tudo tranquilo por aí? Temos um problema complicado, mas vou traduzir ele pra você!

O problema começa afirmando que

T o d a   s e q u ê n c i a   p e r i ó d i c a   c o n v e r g e n t e   é   c o n s t a n t e

E precisamos decidir se essa afirmação é sempre verdadeira, ou falsa

Mas você lembra quais são as características de uma sequência periódica?

Vamos começar com alguns exemplos de sequências periódicas:

  1. 0,1 , 0,1 , 0,1 …
  2. e ,   π , 2 ,   e ,   π , 2 …

Uma sequência constante é aquela em que seus termos sempre se repetem, por exemplo:

2,2 , 2,2 , 2 …

Agora que você lembra dessas características, vamos avaliar a afirmativa?

Vamos começar?

Passo 2

Nossa afirmativa é

T o d a   s e q u ê n c i a   p e r i ó d i c a   c o n v e r g e n t e   é   c o n s t a n t e

Vamos imaginar o contrário! Vamos imaginar uma sequência periódica que não seja constante, igual as que coloquei nos exemplos lá em cima, quando os termos são diferentes entre si, mas se repetem

2,3 , 2,3 , 2,3 , 2,3 …

Notem que as posições ímpares são ocupadas pelo número 2 , assim como as posições pares são ocupadas pelo número 3

Assim

lim 2 n + 1 → ∞ ⁡ 2 = 2

lim 2 n → ∞ ⁡ 3 = 3

Mas esses limites são diferentes entre si! Isso significa que não podemos afirmar para onde converge nossa sequência!

Sendo assim, para uma sequência periódica ser convergente, ela precisa ser constante

E com isso nossa afirmativa está correta

Beleza? E é isso! Até a próxima!

Resposta

v e r d a d e i r a

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