Exercícios Resolvidos de P-Série

Elaboração Própria

Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.

S 1 = n = 1 1 n 2

S 2 = n = 1 1 n - 1

S 3 = n = 1 1 n

S 4 = n = 1 1 n π

S 5 = n = 1 n 5

Passo 1

Repara que todas essas séries são p - s é r i e s .

Como vimos na teoria, uma p - s é r i e é uma série com o termo geral sendo

a n = 1 n p

O que vai dizer se essa série converge ou diverge, é aquele p

p > 1 C o n v e r g e p 1 D i v e r g e

Direto assim mesmo. Bora olhar cada um

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora com o S 1

S 1 = n = 1 1 n 2

Aqui o termo geral vai ser

a n = 1 n 2

Aqui, o p vai ser 2 , beleza? Como isso é maior que 1 ele converge.

Passo 3

Agora com o S 2

S 2 = n = 1 1 n - 1

Aqui o termo geral vai ser

b n = 1 n - 1

Aqui, o p vai ser - 1 , beleza? Como isso é menor ou igual a 1 ele diverge.

Passo 4

Agora com o S 3

S 3 = n = 1 1 n

Aqui o termo geral vai ser

c n = 1 n 0,5

Aqui, o p vai ser 0,5 , beleza? Como isso é menor ou igual a 1 ele diverge.

Depois dessas 3 , repara que p realmente pode ser qualquer número real. Apareceu negativo, positivo, decimal. Não importa o número, o que importa é saber se ele é maior que 1 ou não.

Passo 5

Agora com o S 4

S 4 = n = 1 1 n π

Aqui o termo geral vai ser

d n = 1 n π

Aqui, o p vai ser π , beleza? Lembra que o que importa é comparar com 1 ? Normalmente aproximamos π por 3,14 . Ele estar por perto desse valor, então é de boa ver que ele é maior que 1 . Assim ele converge, de boa assim mesmo.

Passo 6

Começando com o S 5

S 5 = n = 1 n 5

Aqui o termo geral vai ser

e n = n 5

Aqui, o p vai ser 5 , beleza? Como isso é maior que 1 ele converge. Pera, pera, pera, pera...

Tem alguma treta ai, vamos olhar o termo geral da p série

f n = 1 n p

Olha que o n p está em uma fração, e no denominador. E a nossa série ali, tem o n 5 só. Para comparar bonitinho, temos que escrever isso como 1 sobre alguma potência de n .

Vamos usar um macete aqui

n 5 = 1 n - 5

Sempre que rolar uma parada dessa, basta jogar a potência que temos no denominador e mudar o sinal do expoente.

Agora sim, o p vai ser - 5 , e como isso é menor que 1 ele diverge.

Resposta

S 1 C o n v e r g e S 2 D i v e r g e S 3 D i v e r g e S 4 C o n v e r g e S 5 D i v e r g e

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas