Exercícios Resolvidos de Parábolas

UFF, Lista 4 – Exercícios Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, página 4, exercício 27

Achar a equação da parábola que passa pelos pontos ( 0 ,   0 ) , ( 1 ,   - 1 ) e 3 2 ,   - 1 2

Passo 1

Nossa! Não sei nem por onde começar!!

Calma!! Tem um detalhe que ainda não falamos que vai te ajudar muito!!

O detalhe é o seguinte:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, para acharmos a expressão precisamos identificar à qual eixo a parábola é paralela. Para isso, vamos marcar os pontos no plano e ver qual o jeitão da parábola. Fazendo um esboço bem rápido, temos:

Pela figura nossa parábola possui diretriz paralela ao eixo x , então, nossa equação é:

y = a x 2 + b x + c

Passo 3

Sabendo disso precisamos substituir os pontos na equação. Substituindo, teremos:

Para 0 ,   0

y = a x 2 + b x + c 0 = 0 a + 0 b + c

c = 0

Para 1 ,   - 1

y = a x 2 + b x + c   - 1 = a + b + c

Como c = 0

a + b = - 1     ( 1 )

Para 3 2 ,   - 1 2

y = a x 2 + b x + c   - 1 2 = 9 4 a + 3 2 b + c

Como c = 0 ,

- 2 = 9 a + 6 b     ( 2 )

Com as expressões ( 1 ) e ( 2 ) conseguimos achar os valores de a e b . Resolvendo o sistema a seguir, temos:

a + b = - 1     9 a + 6 b = - 2

Isolando a na primeira equação, temos:

a = - 1 - b

Substituindo na segunda equação:

- 2 = 9 - 1 - b + 6 b 7 = - 3 b

b = - 7 3

Então,

a = - 1 + 7 3 = 4 3

a = 4 3

Chegamos nos valores:

a = 4 3

b = - 7 3

c = 0

Assim, sabendo que a expressão é y = a x 2 + b x + c , a expressão da nossa parábola fica:

y = 4 3 x 2 - 7 3 x

Resposta

y = 4 3 x 2 - 7 3 x

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