Exercícios Resolvidos de Parábolas

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Enunciado

Encontrar as coordenadas do vértice, o foco e a equação da diretriz de cada uma das seguintes parábolas:

  1. y 2 = 2 x
  2. y 2 = - 9 x - 4
  3. ( y + 5 ) 2 = 4 3 ( x - 6 )
  4. x 2 = - 4 y
  5. x 2 = - 4 ( y - 2 )

Passo 1

Opa!! Nosso problema envolve as parábolas!! Então, vamos colocar em prática tudo o que vimos sobre parábolas!! O enunciado pede para encontrarmos as coordenadas do vértice, o foco e a equação diretriz de cada uma das parábolas. Então, bora começar!!

Passo 2

a) y 2 = 2 x

Essa expressão tem o jeito parecido de uma das equações que vimos na teoria, que é a seguinte:

y 2 = 2 p x

Vimos também que essa equação é a equação de uma parábola que possui vértice na origem V ( 0 ,   0 ) e seu eixo é o eixo x . Bom, já temos o vértice e o eixo só de lembrar da teoria. Também sabemos, que com essas características o foco é F p 2 , 0 . Mas, quem é p ?

Para achar p devemos comparar y 2 = 2 x     e       y 2 = 2 p x

Comparando, temos:

2 = 2 p → p = 1

Então,

F = 1 2 ,   0

E nossa, diretriz?

A diretriz está sempre a uma distância p 2 do vértice, como nosso foco está na parte positiva,então isso indica que nossa diretriz estará na parte negativa:

Portanto, nossa diretriz é:

x = - 1 2

Pronto!! Nossa primeira parábola já está definida: V 0,0 ,   F 1 2 ,   0   e   x = - 1 2

Passo 3

b) y 2 = - 9 x - 4

Essa equação não se parece nem com o caso 1 e nem com o caso 2, mas com o caso 3, que possui translação!! É isso mesmo!!

Como vimos, para resolver esse tipo de exercício primeiro passamos a equação para um sistema genérico x ' y ' , resolvemos tudo para esse sistema e depois passamos para o sistema cartesiano novamente.

Então, nosso sistema genérico será:

y ' = y

x ' = x - 4

Fazendo essas mudanças, teremos:

y ' 2 = - 9 x '

Vamos resolver, normalmente! Então primeiro, vamos encontrar o valor de p :

y ' 2 = 2 p x ' → y ' 2 = - 9 x '

Comparando:

2 p = - 9 → p = - 9 2

Nosso foco no sistema x ' y ' será:

F p 2 ,   0 =   F - 9 4 ,   0

O vértice no sistema x ' y ' é V = ( 0,0 ) .

Como temos que nosso foco está na parte negativa, então nossa reta diretriz estará na parte positiva e será x ' = p 2 . Logo,

x ' = 9 4

Sempre lembre que o foco e a diretriz são simétricos em relação a algum dos eixos.

Bom, chegamos em todos os resultados, mas os resultados está no sistema x ' y ' , então chegou a hora de usarmos as relações,

y ' = y   ( 1 )

x ' = x - 4   ( 2 )

Para passarmos do x ' y ' para x y .

Assim, para o sistema x ' y ' temos:

V 0,0 ,   F - 9 4 ,   0     e     x ' = 9 4

Substituindo as relações ( 1 ) e ( 2 ) ,temos:

V 0,0

x ' = 0 → x ' = x - 4

0 = x - 4 → x = 4

y ' = 0 → y ' = y → y = 0

V   n o   x y → V ( 4,0 )

F - 9 4 ,   0

x ' = - 9 4 → x ' = x - 4

- 9 4 = x - 4 → x = 7 4

y ' = 0 → y ' = y → y = 0

F   n o   x y → F 7 4 , 0

x ' = 9 4

x ' = x - 4 → 9 4 = x - 4 → x = 25 4

D i r e t r i z   n o   x y → x = 25 4

Nossa parábola nos eixos x y possuem os seguintes elementos: V 4,0 ,   F 7 4 , 0   e   x = 25 4  

Passo 4

c) ( y + 5 ) 2 = 4 3 ( x - 6 )

Esse item é parecido com o anterior, o que vai alterar são as relações de x ' e y ' .

Então, primeiro escrevendo essas relações, temos:

y ' = y + 5

x ' = x - 6

Assim, teremos a expressão em x ' y ' :

y ' 2 = 4 3 x '

Vamos tratar esse problema normalmente só que a diferença é que estamos num sistema de coordenadas x ' y ' , mas isso resolvemos depois ;).

Pelo jeito da expressão sabemos que o eixo da nossa parábola é o eixo x ' e que o vértice no sistema x ' y ' é V = ( 0,0 ) . Vamos encontrar o valor de p para acharmos o foco e a diretriz!!

y ' 2 = 2 p x ' → y ' 2 = 4 3 x '

Comparando, temos:

2 p = 4 3 → p = 2 3

Nosso foco no sistema x ' y ' é F ( p 2 , 0 ) ,portanto:

F = 1 3 ,   0

Como nosso foco está no lado positivo, nossa diretriz estará no negativo, então:

x ' = - 1 3

Pronto! O problema terminou!! Nada disso!! Cuidado, achamos os resultados para o sistema genérico x ' y ' , mas as respostas sempre devemos dar em coordenadas cartesianas x y . Então, para terminar vamos usar as relações:

y ' = y + 5   ( 3 )

x ' = x - 6     ( 4 )

Substituindo, temos:

V 0 ,   0

x ' = 0 →   x ' = x - 6

0 = x - 6 → x = 6

y ' = 0 → y ' = y + 5

0 = y + 5 → y = - 5

V   e m   x y → V ( 6 ,   - 5 )

F = 1 3 ,   0

x ' = 1 3 → x ' = x - 6

1 3 = x - 6 → x = 19 3

y ' = 0 → y ' = y + 5

0 = y + 5 → y = - 5

F   e m   x y → F 19 3 ,   - 5

x ' = - 1 3

x ' = x - 6 →   - 1 3 = x - 6

D i r e t r i z   e m   x y → x = 17 3

Agora, sim!! Nossas respostas são:   V ( 6 ,   - 5 ) , F 19 3 ,   - 5   e   x = 17 3

Passo 5

d) x 2 = - 4 y

Nesse item não temos mais translação, mas note que agora quem está elevado ao quadrado éo x e não mais o y como estávamos fazendo. Então, agora, estamos no 1º caso da teoria.

Se estamos no 1º caso da teoria sabemos que o vértice é V = ( 0 ,   0 ) e que o eixo da parábola será, agora, o eixo dos y . Falta, então, calcularmos o valor de p para então descobrirmos as coordenadas do foco e a reta diretriz.

Então, comparando:

  x 2 = 2 p y →   x 2 = - 4 y

2 p = - 4

p = - 2

Nosso foco nesse caso é F = 0 , p 2 como vimos na teoria. Achamos que p = - 2 , substituindo temos:

F = 0 ,   - 2 2 → F = ( 0 ,   - 1 )

Como nosso foco é negativo, a diretriz estará na parte positiva como mostra a figura:

Calculando será:

y = p 2

y = 1

Pronto!! Como não tivemos que fazernenhuma mudança de coordenadas todos os nossos resultados já estão nas coordenadas x y . Então, temos como resultado: V = 0 ,   0 ,   F = ( 0 ,   - 1 ) e y = 1 .

Passo 6

e) x 2 = - 4 ( y - 2 )

Nosso problema agora é parecido com o do item anterior, mas com translação, ou seja, teremos que fazer uma mudança de coordenadas. Para isso, vamos excrever as relações:

x ' = x

y ' = y - 2

Substituindo essas relações obtemos a seguinte expressão no sistema x ' y ' :

x ' 2 = - 4 y '

Agora, estamos no caso do item anterior, mas num sistema transladado. Vamos calcularos parâmetros normalmente e depois fazemos a mudança de coordenadas. Pelo jeitão da expressão estamos no primeiro caso, ou seja, V = ( 0 ,   0 ) e nosso eixo é o eixo y ' . Lembrando, como fizemos uma mudança de variável trabalharemos com o sistema x ' y ' . Podemos comparar então:

x ' 2 = - 4 y ' →   x ' 2 = 2 p y '

2 p = - 4

p = - 2

Da teoria sabemos, que F = 0 , p 2 , então nosso foco no sistema x ' y ' fica:

F = 0 ,   - 1

E nossa diretriz, também no sistema x ' y ' é y ' = p 2 . Como nosso foco está na parte negativa, nossoa diretriz estará na parte positiva, então:

y ' = 1

Já que achamos tudo o que precisávamos no sistema x ' y ' , agora sim, podemos passar para o sistema x y . Para isso vamos utilizar as relações:

x ' = x

y ' = y - 2

Substituindo, teremos:

V 0 ,   0

x ' = 0 → x ' = x

x = 0

y ' = 0 → y ' = y - 2

0 = y - 2 → y = 2

V   n o   x y → V 0 ,   2

F = 0 ,   - 1

x ' = 0 → x ' = x → x = 0

y ' = - 1 → y ' = y - 2

- 1 = y - 2 → y = 1

F   n o   x y → F 0 ,   1

y ' = 1

y ' = y - 2 → 1 = y - 2

D i r e t r i z   n o   x y → y = 3

Terminamos!! A solução desse item é: V 0 ,   2 , F 0 ,   1 e y = 3 .

Resposta

a )   V 0,0 ,   F 1 2 ,   0   e   x = - 1 2

b )   V 4,0 ,   F 7 4 , 0   e   x = 25 4  

c ) V ( 6 ,   - 5 ) , F 19 3 ,   - 5   e   x = 17 3

d ) V = 0 ,   0 ,   F = ( 0 ,   - 1 ) e y = 1

e )   V 0 ,   2 , F 0 ,   1 e y = 3

Exercícios de Livros Relacionados

Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Vértice ( 0 ,0 ) ; aberta para cima; o comprimento do latus rectum 3 .
Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Vértice ( 0 ,0 ) ; aberta para esquerda; o comprimento do latus rectum é 6 .
Para a parábola, ache as coordenadas do foco, a equação da diretriz e o comprimento do latus rectum. Faça um esboço da parábola. x 2 = - 16 y
Ache a equação da parábola que tem vértice na origem, eixo no eixo y e passa pelo ponto ( - 2 ,- 4 ) .
Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Foco ( 0 ,- 2 ) ; diretriz y - 2 = 0 .