Exercícios Resolvidos de Parábolas

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Enunciado

Q6. Sejam a , b , c ∈ R tais que a matriz

A = a c c b

Tenha polinômio característico dado por p A t = t - 1 t - 3 e tais que seja feita a igualdade:

A 1 2 = 1 2

Seja fixado um sistema de coordenadas ∑ = O , B no plano, com B uma base ortonormal, e considere a cônica de equação:

a x 2 + b y 2 + 2 c x y - 12 5 x + 6 5 y + 1 = 0

Uma equação reduzida para essa cônica é:

a) u 2 + 3 v 2 = 2 ;

b) u 2 + 3 v 2 = 5 ;

c) u 2 + 3 v 2 = 1 ;

d) 2 u 2 + 6 v 2 = 3 ;

e) 2 u 2 + 6 v 2 = 1 .

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos achar a equação reduzida da cônica a partir desse monte de dado do enunciado.

Para isso vamos lembrar que podemos representar a equação:

f x , y = a x 2 + b y 2 + 2 c x y

Na forma matricial:

f x , y = x y a c c b x y

Depois diagonalizamos essa matriz.

A = P - 1 D P

Passo 2

A partir do polinômio característico podemos achar os autovalores:

t - 1 t - 3 = 0

t = 1   o u   t = 3

E foi dado que: A 1 2 = 1 2

Então temos que 1,2 é o autovetor associado ao autovalor 1.

Como A é simétrica, então o outro autovetor será ortogonal a 1,2 :

1,2 , x , y = 0

x + 2 y = 0

x = - 2 y

Então o autovetor será - 2 y , y = y - 2,1 . Então - 2,1 é o autovetor associado ao autovalor 3.

Daí temos a matriz diagonal:

D = 1 0 0 3

Para a base ortonormal B precisamos normalizar esses autovetores. Daí a base fica:

B = 1 5 1,2 , 1 5 - 2,1

Então já temos a matriz P :

P = 1 5 - 2 5 2 5 1 5

Passo 3

Diagonalizando a matriz A :

A = P D P - 1

Como os autovetores são ortonormais:

A = P D P T

Escrevendo a equação na forma matricial:

a x 2 + b y 2 + 2 c x y - 12 5 x + 6 5 y + 1 = 0

x y A x y + - 12 5 6 5 x y + 1 = 0

Agora fazemos a transformação:

x y = P   u v

Reescrevendo a equação com a matriz diagonalizada:

x y P D P T x y + - 12 5 6 5 x y + 1 = 0

Aplicando a transformação:

u v D u v + - 12 5 6 5 P u v + 1 = 0

u v 1 0 0 3 u v + - 12 5 6 5 1 5 - 2 5 2 5 1 5 u v + 1 = 0

u 2 + 3 v 2 + - 12 5 6 5 1 5 u - 2 5 v 2 5 u + 1 5 v + 1 = 0

u 2 + 3 v 2 + 1 5 - 12 u + 24 v + 12 u + v + 1 = 0

u 2 + 3 v 3 + 6 v + 1 = 0

Passo 4

Completando os quadrados:

u 2 + 3 v 2 + 2 v + 1 - 2 = 0

u 2 + 3 v + 1 2 = 2

Podemos chamar

v + 1 = v '

Então:

u 2 + 3 v ' 2 = 2

Então uma equação reduzida é:

u + 3 v 3 = 2

Letra a

Resposta

Letra a

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