Exercícios Resolvidos de Parábolas

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 216-3.

Determinar a equação da parábola de vértice Equation , sabendo que Equation é a equação de sua diretriz.

Passo 1

O problema nos dá o vértice e a equação da reta diretriz da parábola, e nós com esses dados devemos determinar a equação desta parábola. Mas, como farei isso, não vimos nada assim!!

Calma!! Vamos por partes!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Analisando o vértice sabemos que não estamos nem no caso 1 e nem no caso 2, porque nesses dois casos o Equation e temos que Equation . Assim, estamos no caso de uma translação. Além disso, sabemos que a reta diretriz é Equation , isso nos indica que a nossa parábola é da seguinte maneira:

Assim, sabemos que a forma geral da nossa parábola, será:

Equation

Passo 3

Para determinar nossa parábola, precisamos então determinar os valoresde Equation e Equation . Para isso, vamos fazer o inverso do que vínhamos fazendo, ou seja, sabemos que no sistema Equation o vértice é Equation e sabemos que no Equation vale Equation .

Assim, teremos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Substituindo em Equation :

Equation

Equation

Equation

Substituindo em Equation :

Equation

Portanto, chegamos na seguinte expressão:

Equation

Mas, e Equation quanto vale?

Para achar Equation fica mais fácil fazermos um esboço da parábola.

Passo 4

Fazendo um esboço obtemos a seguinte figura:

Pela figura temos que:

Equation

Que é a distância do nosso vértice em verde pra reta diretriz em azul!

Então Equation !

Eu sei que Equation deve ser um valor negativo, pois a parábola está nos Equation !

Assim, já que achamos o valor de Equation , falta colocar na expressão:

Equation

Substituindo:

Equation

Equation

Prontinho, chegamos na nossa resposta!!

Resposta

Equation

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