Exercícios Resolvidos de Parábolas

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Enunciado

Determinar a equação da parábola de vértice V ( 3 ,   - 1 ) , sabendo que y - 1 = 0 é a equação de sua diretriz.

Passo 1

O problema nos dá o vértice e a equação da reta diretriz da parábola, e nós com esses dados devemos determinar a equação desta parábola. Mas, como farei isso, não vimos nada assim!!

Calma!! Vamos por partes!!

Passo 2

Analisando o vértice sabemos que não estamos nem no caso 1 e nem no caso 2, porque nesses dois casos o V = ( 0 ,   0 ) e temos que V = ( 3 ,   - 1 ) . Assim, estamos no caso de uma translação. Além disso, sabemos que a reta diretriz é y = 1 , isso nos indica que a nossa parábola é da seguinte maneira:

Assim, sabemos que a forma geral da nossa parábola, será:

( x - h ) 2 = 2 p ( y - k )

Passo 3

Para determinar nossa parábola, precisamos então determinar os valoresde h ,   k e p . Para isso, vamos fazer o inverso do que vínhamos fazendo, ou seja, sabemos que no sistema x ' y ' o vértice é V = ( 0,0 ) e sabemos que no x y vale V ( 3 ,   - 1 ) .

Assim, teremos:

x ' = x - h

y ' = y - k

x ' = 0

x = 3

Substituindo em ( 1 ) :

0 = 3 - h → h = 3

y ' = 0

y = - 1

Substituindo em ( 2 ) :

0 = - 1 - k → k = - 1

Portanto, chegamos na seguinte expressão:

( x - 3 ) 2 = 2 p ( y + 1 )

Mas, e p quanto vale?

Para achar p fica mais fácil fazermos um esboço da parábola.

Passo 4

Fazendo um esboço obtemos a seguinte figura:

Pela figura temos que:

p 2 = - 2

Que é a distância do nosso vértice em verde pra reta diretriz em azul!

Então p = - 4 !

Eu sei que p deve ser um valor negativo, pois a parábola está nos y < 0 !

Assim, já que achamos o valor de p , falta colocar na expressão:

( x - 3 ) 2 = 2 p ( y + 1 )

Substituindo:

( x - 3 ) 2 = 2 ( - 4 ) ( y + 1 )

( x - 3 ) 2 = - 8 ( y + 1 )

Prontinho, chegamos na nossa resposta!!

Resposta

( x - 3 ) 2 = - 8 ( y + 1 )

Exercícios de Livros Relacionados

Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Vértice ( 0 ,0 ) ; aberta para cima; o comprimento do latus rectum 3 .
Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Vértice ( 0 ,0 ) ; aberta para esquerda; o comprimento do latus rectum é 6 .
Para a parábola, ache as coordenadas do foco, a equação da diretriz e o comprimento do latus rectum. Faça um esboço da parábola. x 2 = - 16 y
Ache a equação da parábola que tem vértice na origem, eixo no eixo y e passa pelo ponto ( - 2 ,- 4 ) .
Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Foco ( 0 ,- 2 ) ; diretriz y - 2 = 0 .