Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 28 –1.23

Considere os dois produtos vetoriais repetidos A   ×   B   ×   C e A   ×   B   ×   C . Forneça um exemplo para mostrar que estes dois vetores normalmente não possuem nem módulo nem direções iguais. Você pode escolher os três vetores A ,   B   e   C de modo que esses dois produtos vetoriais sejam iguais? Em caso afirmativo, forneça um exemplo.

Passo 1

Vamos usar 3 vetores escolhidos ao acaso para provar que normalmente os vetores não possuem nem módulo nem direções iguais

A = 1,0 , 0

B = ( 1,1 , 0 )

C = ( 2,1 , 0 )

Escolhi vetores simples para não termos problemas nas contas. Números são um pouco chatinhos, ai acho melhor evitar =)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Alternativa a)

Vamos realizar uma operação de cada vez para não embolar a sua cabeça. A primeira que vamos fazer é A   ×   B   ×   C

Calculando o produto vetorial B × C

  i j z 1 1 0 2 1 0

Assim temos como o vetor resultante D :

D = ( 0,0 , - 1 )

Passo 3

Calculando o produto vetorial entre A × D

  i j z 1 0 0 0 0 - 1

Depois de calcular o produto vetorial, a resposta da primeira equação é:

A ×   B × C = ( 0,1 , 0 )

Passo 4

Agora vamos calcular a segunda equação, fechado?

Calculando o produto vetorial A × B

  i j z 1 0 0 1 1 0

Assim temos como o vetor resultante E :

E = ( 0,0 , 1 )

Passo 5

Calculando o produto vetorial entre E × C

  i j z 0 0 1 2 1 0

Depois de calcular o produto vetorial, a resposta da segunda equação é:

A   ×   B   ×   C = ( 1,2 , 0 )

Como os resultados foram diferentes, mostramos que normalmente os vetores não possuem módulos iguais, muito menos direções iguais.

Passo 6

Um modo fácil dos dois produtos serem iguais é todos os três vetores serem paralelos, pois assim, todos os produtos vetorais tem como resultado 0 , pois s e n 180 ° vale 0 .

Resposta

t r ê s   v e t o r e s   p a r a l e l o s

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