Exercícios Resolvidos de Propagação das Ondas Eletromagnéticas

Física 4 – UFRJ – 2019.2 – P1 – Questão 3

Uma “cavidade linear” no vácuo é definida por duas paredes planas, paralelas e de material condutor ideal situadas em planos paralelos a y z e posicionados em x = 0   c m e x = 10   c m , respectivamente. Sabendo que uma onda eletromagnética é excitada dentro da cavidade no primeiro modo normal de oscilação, o campo elétrico dessa onda pode ser dado por:

a) E → r → ,   t = - 1 V m y ^   s e n   π x 10 r a d c m cos ⁡ π c t 10 r a d c m .

b) E → r → ,   t = 2 V m z ^   s e n   2 π x 10 r a d c m cos ⁡ 2 π c t 10 r a d c m .

c) E → r → ,   t = 1 V m x ^   s e n   π x 10 r a d c m cos ⁡ π c t 10 r a d c m .

d) E → r → ,   t = - 2 V m y ^   c o s   2 π x 10 r a d c m sen ⁡ 2 π c t 10 r a d c m .

Passo 1

Eai galerinha, bora resolver mais um problema de física 4 da UFRJ?

Nesse problema temos uma onda estacionária presa na região 0 ≤ x ≤ 10 . Além disso, como as paredes que delimitam essa região são condutoras, os campos elétricos devem se anular em x = 0 e em x = 10 . Nas alternativas A, B e C isso ocorre pois

s e n   0 = 0

s e n   π = 0

s e n   2 π = 0

Já na alternativa D isso não acontece, pois para x = 10 :

cos ⁡ 2 π x 10 = cos ⁡ 2 π = 1

Com isso, já podemos descartar essa última alternativa...

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Além disso, o campo elétrico deve ser perpendicular à direção x em que a onda estacionária está localizada. Com isso, podemos descartar também a alternativa C, pois nela o campo está na direção x ^ .

Passo 3

Temos agora duas possibilidades: A ou B, eai, o que fazer?

Bom, o enunciado disse que a onda deve estar no primeiro modo normal de vibração. Vamos lembrar o que é isso:

No primeiro modo de vibração, a onda não deve possuir nenhum nó. Lembre-se que o nó é um ponto em que a amplitude da onda é sempre nula. Para olhar para os nós das ondas, temos que analisar os termos:

s e n   π x 10     →         a l t e r n a t i v a   A

s e n   2 π x 10     →         a l t e r n a t i v a   B

No caso da alternativa A, os nós acontecem se

s e n   π x 10 = 0 → π x 10 = n π → x = 10 n

Para n = 0 temos x = 0 e para n = 1 temos x = 10 . Logo, nenhum ponto entre 0 < x < 10 é nó para essa onda: isso significa que ela está no primeiro modo de vibração!

Já para a alternativa B, temos

s e n   2 π x 10 = 0 → 2 π x 10 = n π → x = 5 n

Para n = 0 temos x = 0 e para n = 2 temos x = 10 , que representa os extremos da onda, até aqui tudo bem. Porém para n = 1 , achamos x = 5 . Isso significa que no meio da onda temos um nó: trata-se do segundo modo de vibração.

Como o enunciado pede o primeiro modo, devemos assinalar a alternativa A!

Resposta

Alternativa A.

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