Exercícios Resolvidos de Propagação das Ondas Eletromagnéticas

UFRJ, Física 4, Prova 1, 2012.1, modificado

Uma onda eletromagnética senoidal plana se propagando no ar possui comprimento de onda igual a 3,00   cm e a amplitude do campo elétrico é igual a 9,00   V / m .

Dê as suas respostas em valores numéricos.

  1. Qual é a frequência desta onda?
  2. Sabendo que o vetor de propagação da onda está na mesma direção e é proporcional ao vetor 4 x ^ - 3 z ^ , escreva uma possível expressão para o vetor campo elétrico em função do tempo e do espaço.
  3. A partir da sua resposta do item b), escreva uma possível expressão para o vetor campo magnético em função do tempo e do espaço.

Passo 1

Letra a)

O problema nos dá o comprimento de onda λ , a amplitude do campo elétrico E máx e nos pede a frequência da onda f .

Para descobrir o valor de f podemos usar a seguinte relação:

c = λ f → f = c λ

Onde:

λ = 3,0   cm = 3 × 10 - 2   m ;

c = 3,0 × 10 8   m / s ;

Logo:

f = 3,0 × 10 8 3,0 × 10 - 2 = 10 10   Hz

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

O vetor de propagação da onda está na mesma direção e é proporcional ao vetor 4 x ^ - 3 z ^ .

Sabendo que o vetor de campo elétrico E → deve ser perpendicular à direção de propagação, podemos colocar o campo elétrico no sentido do vetor + y ^ .

Sabemos também que uma onda eletromagnética senoidal possui um campo elétrico do tipo:

E → = E máx cos ⁡ k → ⋅ r → - ω t y ^

Nesse caso, aparece um k → pois a onda se desloca tanto no sentido + 4 x ^ quanto no sentido - 3 z ^ .

Em casos como esse, dizemos que

k → = k ⋅ ( 4 x ^ - 3 z ^ ) 4 x ^ - 3 z ^

Relaxa! Eu sei que isso é novo! Mas é importante você lembrar disso, porque questões como esta e a anterior costumam cair bastante!

Assim, o número de onda k é calculado por

ω = k c → 2 π f = k c

k = 2 π f c

Onde:

f = 10 10   Hz ;

c = 3 × 10 8   m / s ;

Logo:

k = 2 π × 10 10 3 × 10 8 = 200 π 3

k → = 200 π 3   ( 4 x ^ - 3 z ^ ) 4 x ^ - 3 z ^

Como:

4 x ^ - 3 z ^ = 4 2 + - 3 2 = 5

k → = 200 π 15 ( 4 x ^ - 3 z ^ )

Se a gente fizer o produto:

k → ⋅ r → = 200 π 15 4 x ^ - 3 z ^ ⋅ x x ^ + y y ^ + z z ^

k → ⋅ r → = 200 π 15 4 x - 3 z

Como dissemos anteriormente, podemos calcular o valor de ω através da seguinte relação:

ω = 2 π f

Onde:

f = 10 10   H z ;

Logo:

ω = 2 π × 10 10   rad / s

Como o problema nos diz que E m á x vale 9,00   V/m , agora podemos, finalmente, escrever o vetor campo elétrico E → , dado por:

E → = 9,00 ⋅ cos ⁡ 200 π 15 4 x - 3 z - 2 π ⋅ 10 10 t y ^         ( V/m)

Passo 3

Letra c)

O vetor de propagação da onda está na mesma direção e é proporcional ao vetor 4 x ^ - 3 z ^ .

Sabemos que o vetor de campo elétrico B → deve ser perpendicular à direção de propagação 4 x ^ - 3 z ^ , e perpendicular ao vetor campo elétrico E → ( + y ^ ) .

Daqui se supormos que o unitário do campo magnético seja B ^ = B x ,   B y ,   B z , então, usando o produto escalar, vamos ter

B ^ ⋅ E ^ = B x ,   B y ,   B z ⋅ 0,1 , 0 = B y

Como esse produto escalar tem que ser nulo, já achamos que

B y = 0

Para achar as outras duas componentes podemos usar tanto B ^ ⋅ k ^ = 0 quanto E ^ × B ^ = k ^

Usando E ^ × B ^ = k ^

E ^ × B ^ = 4 x ^ - 3 z ^ 4 x ^ - 3 z ^ = 4 x ^ - 3 z ^ 5

Portanto:

E ^ × B ^ = 0,1 , 0 × B x , 0 , B z = x ^ y ^ z ^ 0 1 0 B x 0 B z

B z x ^ - B x z ^ = 4 x ^ - 3 z ^ 5

B z = 4 5 ;   B x = 3 5

Ou usando B ^ ⋅ k ^ = 0

B ^ ⋅ k ^ = B x ,   0 ,   B z ⋅ 4 5 ,   0 ,   - 3 5 = 4 B x 5 - 3 B z 5 = 0 → B x = 3 4 B z

Como o vetor tem que ser unitário

B x 2 + B y 2 + B z 2 = 1 → 3 4 B z 2 + 0 2 + B z 2 = 1

9 B z 2 16 + B z 2 = 1

25 B z 2 16 = 1 → B z = 4 5 → B x = 3 4 4 5 = 3 5

B z = 4 5 ;   B x = 3 5

Assim finalmente o unitário do campo magnético será

B ^ = 3 5 x ^ + 4 5 z ^

Sabemos esta onda eletromagnética senoidal possuirá um campo magnético do tipo:

B → = B máx cos ⁡   k → ⋅ r → - ω t 3 x ^ + 4 z ^ 5  

Onde:

B máx = E máx c = 9 3 × 10 8 = 3,0 × 10 - 8   T ;

B → = 3,0 × 10 - 8 cos ⁡ 200 π 15 4 x - 3 z - 2 π 10 10 t 3 x ^ + 4 z ^ 5     ( T)

Resposta

Letra (a):

f = 10 10   Hz

Letra (b):

E → = 9,00 cos ⁡ 200 π 15 4 x - 3 z - 2 π 10 10 t y ^           ( V/m)

Letra (c):

B → = 3,0 × 10 - 8 cos ⁡ 200 π 15 4 x - 3 z - 2 π 10 10 t 3 x ^ + 4 z ^ 5           ( T)

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas