Exercícios Resolvidos de Propagação das Ondas Eletromagnéticas

UFRJ, Física 4, Prova 1, 2015.1

É conhecido que um campo elétrico de uma onda plana eletromagnética propagando-se num meio dielétrico (onde μ = μ c = 4 π × 10 - 7   T . m / A ) é dado por

E → = E 0 cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t z ^

onde E 0 = 2 × 10 - 6   V / m , ω = 6 × 10 5   r a d / s e k → = 3 × 10 - 3   m - 1 .

Obs: As relações e as equações para uma onda eletromagnética num meio dielétrico são as mesmas que para uma onda eletromagnética no vácuo, substituindo apenas nas relações a velocidade c da onda eletromagnética no vácuo pela velocidade v da onda eletromagnética no meio dielétrico.

  1. Qual é o vetor unitário k ^ da direção propagação da onda?
  2. Calcule o vetor campo magnético B → da onda.

Passo 1

a ) Qual é o vetor unitário k ^ da direção propagação da onda?

No fundo, nós poderíamos reescrever o vetor campo elétrico da seguinte forma:

E → = E 0 cos ⁡ k → ⋅ r → - ω t z ^

O termo k → ∙ r → está associado à direção de propagação da onda, e r → = x ,   y ,   z .

Eu sei que essa não é uma notação que aparece sempre, mas acaba sendo válida principalmente nos casos que a onda não se propaga em uma direção paralela a um dos eixos coordenados.

Como todo o vetor, podemos reescrever o vetor k → da seguinte forma:

k ^ = k → k → → k → = k → k ^

Substituindo isso na expressão do campo elétrico, teremos:

E → = E 0 cos ⁡ k → k ^ ⋅ r → - ω t z ^

Agora vamos comparar com a expressão do campo elétrico dado pelo problema:

E → = E 0 cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t z ^

Comparando essas suas expressões, podemos dizer que:

k ^ ∙ r → = 2 2 x - 2 2 y

k ^ ∙ x ,   y ,   z = 2 2 x - 2 2 y

Logo:

k ^ = 2 2 ,   - 2 2 ,   0

Ou:

k ^ = 2 2 x ^ - 2 2 y ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) Calcule o vetor campo magnético B → da onda.

Uma forma de calcular o campo magnético utilizando o vetor k ^ , é através da expressão:

B → = k ^ × E → v

Tem um detalhe importante que não dá pra esquecer, a onda está se propagando em um meio dielétrico, então ao invés de usarmos c , teremos que usar v para a velocidade da luz no meio, onde:

v = ω k →

v = 6 × 10 5 3 × 10 - 3

v = 2 × 10 8   m / s

Agora já podemos calcular o campo magnético.

B → = 1 v 2 2 x ^ - 2 2 y ^ × E 0 cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t z ^

Como os números são meio esquisitos, para não nos confundirmos, uma boa é ir substituindo aos poucos. Vamos começar organizando esse cara:

B → = E 0 v cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t 2 2 x ^ - 2 2 y ^ × z ^

B → = E 0 v cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t - 2 2 x ^ - 2 2 y ^

B → = - 2 2 E 0 v cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t x ^ + y ^

Agora podemos substituir os valores de E 0 , v , k → e ω .

B → = - 2 2 2 × 10 - 6 2 × 10 8 cos ⁡ 3 × 10 - 3 2 2 x - 2 2 y - 6 × 10 5 t x ^ + y ^

Finalmente:

B → = - 2 2 × 10 - 14 cos ⁡ 3 × 10 - 3 2 2 x - 2 2 y - 6 × 10 5 t x ^ + y ^   T

Resposta

a )

k ^ = 2 2 x ^ - 2 2 y ^

b )

B → = - 2 2 × 10 - 14 cos ⁡ 3 × 10 - 3 2 2 x - 2 2 y - 6 × 10 5 t x ^   + y ^     T

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas