Exercícios Resolvidos de Propagação das Ondas Eletromagnéticas

Elaboração própria

Uma onda eletromagnética possui módulo do campo magnético B = 4 × 10 - 7 T e frequência 10 6 H z , sabendo que o vetor de propagação da onda está no mesmo sentido e é proporcional a x ^ - 2 y ^ , escreva uma expressão para o vetor campo magnético e determine o comprimento de onda.

Passo 1

Primeiro bora encontrar o comprimento de onda, podemos usar essa relação:

c = λ f → λ = c f

Com c = 3 × 10 8 m / s e f = 10 6 H z temos:

λ = 3 × 10 8 10 6   ∴   λ = 300 m

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Passo 2

Agora podemos começar a pensar no campo magnético.

Se o nosso vetor do sentido da onda é proporcional a x ^ - 2 y ^ , o sentido de B → só pode ser z ^ , pois é diferente do sentido de propagação da onda.

Se a onda tem sentido + x ^ e - 2 y ^ , temos um k → que é dado por:

k → = k . x ^ - 2 y ^ x ^ - 2 y ^

O k é a constante de fase que é dada por:

k = 2 π λ       ∴       k = 2 π 300   r a d / m

Beleza, agora vamos encontrar o valor do módulo do vetor se temos x ^ - 2 y ^ .

Vamos encontrar a resultante com os termos que acompanham os vetores unitários:

R = 1 2 + - 2 2

R = 5

Assim, conseguimos determinar o k → :

k → = 2 π 300 x ^ - 2 y ^ 5

Simplificando

k → = 2 π 300 x ^ - 2 y ^ 5 × 5 5 = 2 π 5 x ^ - 2 y ^ 1500

Passo 3

Maneiro, agora faremos um produto escalar de r → k → já que a expressão pro campo magnético genérica é:

B → = B m cos ⁡ k → . r → - ω t n ^

Assim:

k → . r → = 2 π 5 1500 x ^ - 2 y ^ . ( x x ^ + y y ^ + z z ^ )

k → . r → = 2 π 5 1500 ( x - 2 y )

Beleza, temos quase tudo. Só falta a frequência ângular que é:

ω = 2 π f

ω = 2 π × 10 6 r a d / s  

Agora é só substituir tudo e se liga que osentido do campo deve ser perpendicular ao sentido da onda e portanto está na direção - z ^

B → = 4 × 10 - 7 cos ⁡ 2 π 5 1500 x - 2 y - 2 π × 10 6 t ( - z ^ )

Show! Acabamos! :D

Resposta

B → = 4 × 10 - 7 cos ⁡ 2 π 5 1500 x - 2 y - 2 π × 10 6 t ( - z ^ )

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