Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 327, exercício 41.

Se f ( u , v , w ) é diferenciável e

u = x - y

v = y - z

w = z - x

Mostre que

f x + f y + f z = 0

Passo 1

Pra mostrar isso ai a gente quem que calcular as derivadas parciais né?

Pelas fórmulas da regra da cadeia, temos que:

f x = f u u x + f v v x + f w w x

f y = f u u y + f v v y + f w w y

E

f z = f u u z + f v v z + f w w z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f :

f u , v , w = f u , f v , f w

Passo 3

Gradiente de u :

u = x - y

u x , y , z = u x , u y , u z = ( 1 , - 1,0 )

Passo 4

Gradiente de v :

v = y - z

v x , y , z = v x , v y , v z = ( 0,1 , - 1 )

Passo 5

Gradiente de w :

w = z - x

w x , y , z = w x , w y , w z = ( - 1,0 , 1 )

Passo 6

Ok, agora vamos substituir nas fórmulas do passo 1.

Para a derivada em relação a x :

f x = f u u x + f v v x + f w w x

f x = f u 1 + f v 0 + f w - 1 = f u - f w

Para a derivada em relação a y :

f y = f u u y + f v v y + f w w y

f y = f u - 1 + f v 1 + f w 0 = - f u + f v

E para a derivada em relação a z :

f z = f u u z + f v v z + f w w z

f z = f u 0 + f v - 1 + f w 1 = - f v + f w

Passo 7

-

Por fim, vamos verificar se conseguimos mostrar o que o problema pediu:

f x + f y + f z = f u - f w - f u + f v - f v + f w = 0

Uhul, deu certo!

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