Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UERJ, Cálculo 2, Professora Renata, Lista 2, questão 3, item d

Determine ∂ f ∂ s   e ∂ f ∂ t da função f x , y = x 2 + x y + y 2 , tendo x = s + t e y = s t

Passo 1

Tranquilo, só a gente jogar na fórmula da regra da cadeia!

∂ f ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ s

E

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, então, calcular o gradiente de f ( x , y ) :

f x , y = x 2 + x y + y 2

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ( 2 x + y , x + 2 y )

Passo 3

Ok, agora vamos calcular o gradiente de x :

x ( s , t ) = s + t

∇ x s , t = ∂ x ∂ s , ∂ x ∂ t = 1,1

Passo 4

E o gradiente de y :

y ( s , t ) = s t

∇ y s , t = ∂ y ∂ s , ∂ y ∂ t = ( t , s )

Passo 5

Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar nas fórmulas do passo 1 !

A derivada de f em relação a s fica:

∂ f ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ s

∂ f ∂ s = 2 x + y . 1 + x + 2 y . t

∂ f ∂ s = 2 x + y + x t + 2 y t

E a derivada de f em relação a t fica:

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

∂ f ∂ t = 2 x + y . 1 + x + 2 y . s

∂ f ∂ t = 2 x + y + x s + 2 y s

Resposta

∂ f ∂ s = 2 x + y + x t + 2 y t

∂ f ∂ t = 2 x + y + x s + 2 y s

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