Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 326, exercício 11.

Dado

u = p - q q - r

p = x + y + z

q = x - y + z

r = x + y - z

  1. Expresse ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y e ∂ u ∂ z como funções de x ,   y   e z usando a regra da cadeia e também expressando u diretamente em termos de x ,   y   e z antes de diferenciar.
  2. Calcule ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y e ∂ u ∂ z no ponto x , y , z = ( 3 , 2,1 )

Passo 1

a )

Vamos fazer primeiro pela regra da cadeia.

Para isso, precisamos calcular o gradiente de u , p , q e r .

Começando por u :

u = p - q q - r

∇ u p , q , r = ∂ u ∂ p , ∂ u ∂ q , ∂ u ∂ r = 1 q - r , r - p q - r 2 , p - q q - r 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Gradiente de p :

p = x + y + z

∇ p x , y , z = ∂ p ∂ x , ∂ p ∂ y , ∂ p ∂ z = ( 1,1 , 1 )

Passo 3

Gradiente de q :

q = x - y + z

∇ q x , y , z = ∂ q ∂ x , ∂ q ∂ y , ∂ q ∂ z = ( 1 , - 1,1 )

Passo 4

Gradiente de r :

r = x + y - z

∇ r x , y , z = ∂ r ∂ x , ∂ r ∂ y , ∂ r ∂ z = ( 1,1 , - 1 )

Passo 5

Agora vamos substituir o que encontramos nas fórmulas da regra da cadeia.

Para a derivada em relação a x :

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ u ∂ q ∂ q ∂ x + ∂ u ∂ r ∂ r ∂ x

∂ u ∂ x = 1 q - r 1 + r - p q - r 2 1 + p - q q - r 2 1 = q - r + r - p + p - q q - r 2 = 0

Para a derivada em relação a y :

∂ u ∂ y = ∂ u ∂ p ∂ p ∂ y + ∂ u ∂ q ∂ q ∂ y + ∂ u ∂ r ∂ r ∂ y

∂ u ∂ y = 1 q - r 1 + r - p q - r 2 - 1 + p - q q - r 2 1 = 2 p - 2 r q - r 2

∂ u ∂ y = 2 p - 2 r q - r 2 = 2 x + y + z - 2 x + y - z x - y + z - x + y - z 2 = z z - y 2    

E, para a derivada em relação a z :

∂ u ∂ z = ∂ u ∂ p ∂ p ∂ z + ∂ u ∂ q ∂ q ∂ z + ∂ u ∂ r ∂ r ∂ z

∂ u ∂ z = 1 q - r 1 + r - p q - r 2 1 + p - q q - r 2 - 1 = q - r + r - p - p + q q - r 2 = 2 q - 2 p ( q - r ) ²

∂ u ∂ z = 2 p - 2 r ( q - r ) ² = - 4 y 2 z - 2 y 2 = - y z - y 2

Passo 6

Agora vamos substituir p ,   q e r na expressão de u para calcular as derivadas parciais.

u = p - q q - r

p = x + y + z

q = x - y + z

r = x + y - z

u = ( x + y + z ) - ( x - y + z ) ( x - y + z ) - ( x + y - z ) = 2 y 2 z - 2 y

Passo 7

Calculando ∂ u ∂ x :

∂ u ∂ x = 0

Calculando ∂ u ∂ y :

∂ u ∂ y = z - y - y - 1 z - y 2 = z z - y 2

Calculando ∂ u ∂ z :

∂ u ∂ z = z - y 0 - y 1 z - y 2 = - y z - y 2

Igual aos resultados que obtivemos antes

Passo 8

b )

Como já temos as expressões de ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y e ∂ u ∂ z em função de x ,   y   e z , só temos que substituir no ponto x , y , z = ( 3 , 2,1 ) .

Então:

∂ u ∂ x = 0

∂ u ∂ y = 1 1 - 2 2 = 1

E

∂ u ∂ z = - 2 1 - 2 2 = - 2 - 1 2 = - 2

Resposta

∂ u ∂ x = 0

∂ u ∂ y = 1

E

∂ u ∂ z = - 2

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