Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

CEFET, Cálculo 2, Professor Roberto Thomé, Lista 1, questão 17, item d

Use a regra da cadeia para determinar s u e s v em

s = z 3 - x 2 y

sendo

x = u + v ln u

y = u 2 - v ln v

z = u 2 - v 2

Passo 1

Tranquilo, só a gente jogar na fórmula da regra da cadeia!

f u = f x x u + f y y u + f z z u

E

f v = f x x v + f y y v + f z z v

Trocando agora para a nossa função s :

Para derivada em relação a u :

s u = s x δ x δ u + s y δ y δ u + s z δ z δ u

Para derivada em relação a v :

s v = s x δ x δ v + s y δ y δ v + s z δ z δ v

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, então, calcular as derivadas de s ( x , y , z ) :

s = z 3 - x 2 y

s x = - 2 x y

s y = - x 2

s z = 3 z 2

Passo 3

Ok, agora vamos calcular as derivadas de x :

x = u + v ln u

x u = 1 + v u

x v = ln u

Passo 4

E as derivadas de y :

y = u 2 - v ln v

y u = 2 u

y v = - ln v - 1

Passo 5

E, por fim, as derivadas de z :

z = u 2 - v 2

z u = 2 u

z v = - 2 v

Passo 6

Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar nas fórmulas do passo 1 !

A derivada de s em relação a u fica:

δ s δ u = s x δ x δ u + s y δ y δ u + s z δ z δ u

δ s δ u = - 2 x y 1 + v u - x 2 2 u + 3 z 2 ( 2 u )

δ s δ u = - 2 x y - 2 x y v u - 2 u x 2 + 6 u z 2

E a derivada de s em relação a v fica:

δ s δ v = s x δ x δ v + s y δ y δ v + s z δ z δ v

δ s δ v = - 2 x y ln u - x 2 - ln v - 1 + 3 z 2 - 2 v

δ s δ v = - 2 x y ln u + x 2 ln v + 1 - 6 v z 2

Resposta

δ s δ u = - 2 x y - 2 x y v u - 2 u x 2 + 6 u z 2

δ s δ v = - 2 x y ln u + x 2 ln v + 1 - 6 v z 2

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