Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 225, exercício 17

Seja

g x , y = x 2 + y 2 f ( u , v )

Onde

u = 2 x - y

v = x + 2 y

Mostre que

∂ g ∂ x = 2 x . f u , v + x 2 + y 2 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

Passo 1

Para calcular ∂ g ∂ x temos que usar a regra do produto, e foi isso que ele fez ali em cima:

∂ g ∂ x = ∂ x 2 + y 2 ∂ x . f u , v + ( x 2 + y 2 ) ∂ f ∂ x

No fundo, o que ele quer que a gente mostre é que

∂ f ∂ x = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

f é uma função de u e v e u e v são funções de outras duas variáveis x e y . Então, tudo o que temos que fazer é aplicar a regra da cadeia, né?

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

Vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, então, calcular o gradiente de f ( u , v ) :

∇ f u , v = ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v

Passo 3

Ok, agora vamos calcular o gradiente de u :

u = 2 x - y

∇ u x , y = ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y = ( 2 , - 1 )

Passo 4

E o gradiente de v :

v = x + 2 y

∇ v x , y = ∂ v ∂ x , ∂ v ∂ y = ( 1,2 )

Passo 5

-

Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar na fórmula do passo 1 !

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

∂ f ∂ x = 2 ∂ f ∂ u + 1 ∂ f ∂ v

Show!

∂ f ∂ x = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

Então

∂ g ∂ x = ∂ x 2 + y 2 ∂ x . f u , v + ( x 2 + y 2 ) ∂ f ∂ x

∂ g ∂ x = 2 x . f u , v + x 2 + y 2 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

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