Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja

g x , y = x 2 + y 2 f ( u , v )

Onde

u = 2 x - y

v = x + 2 y

Mostre que

∂ g ∂ x = 2 x . f u , v + x 2 + y 2 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

Passo 1

Para calcular ∂ g ∂ x temos que usar a regra do produto, e foi isso que ele fez ali em cima:

∂ g ∂ x = ∂ x 2 + y 2 ∂ x . f u , v + ( x 2 + y 2 ) ∂ f ∂ x

No fundo, o que ele quer que a gente mostre é que

∂ f ∂ x = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

f é uma função de u e v e u e v são funções de outras duas variáveis x e y . Então, tudo o que temos que fazer é aplicar a regra da cadeia, né?

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos, então, calcular o gradiente de f ( u , v ) :

∇ f u , v = ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v

Passo 3

Ok, agora vamos calcular o gradiente de u :

u = 2 x - y

∇ u x , y = ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y = ( 2 , - 1 )

Passo 4

E o gradiente de v :

v = x + 2 y

∇ v x , y = ∂ v ∂ x , ∂ v ∂ y = ( 1,2 )

Passo 5

-

Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar na fórmula do passo 1 !

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

∂ f ∂ x = 2 ∂ f ∂ u + 1 ∂ f ∂ v

Show!

∂ f ∂ x = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

Então

∂ g ∂ x = ∂ x 2 + y 2 ∂ x . f u , v + ( x 2 + y 2 ) ∂ f ∂ x

∂ g ∂ x = 2 x . f u , v + x 2 + y 2 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t