Exercícios Resolvidos de Rolamento com Deslizamento

Após sofrer um impulso, um aro de massa M e raio R rola sem deslizar plano acima. O plano está inclinado de θ em relação à horizontal. No instante de tempo t = 0 o aro tem velocidade angular de módulo ω 0 e está na posição x a partir da origem. Suponha que o plano é suficientemente longo e que o aro alcança sua altura máxima a uma distância x + Δ x . Após parar momentaneamente o aro rola sem deslizar plano abaixo. Utilize g para a aceleração da gravidade e o sistema de eixos indicado.

(a) Determine o momento de inércia rotacional do aro em relação ao ponto de contato com o plano inclinado.

(b) Determine a distância Δ x em função dos dados do problema.

(c) Determine τ → a o torque da força de atrito em torno do centro do aro, quando ele estiver momentaneamente parado, prestes a rolar sem deslizar plano abaixo.

Passo 1

(a) Pelo teorema dos eixos paralelos temos:

I P = I D + M d 2

I P = M R 2 + M R 2 = 2 M R 2

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Passo 2

(b) A energia mecânica se conserva, então:

Δ U g + Δ K = 0

Portanto, devemos contar com a variação da energia potencial gravitacional como:

∆ U g = M g ∆ x   s e n θ

E a variação da energia cinética:

∆ K = - 1 2 I ω 2 - 1 2 M v 2

Onde:

I = M R 2

E:

v = ω 0 R

Logo:

M g Δ x   s e n θ - 1 2 M R 2 ω 0 2 - 1 2 M ω 0 R 2 = 0

Δ x = R 2 ω 0 2 g s e n θ

Passo 3

(c)

Pela segunda lei de Newton, temos, pela análise das forças:

1 M g s e n θ - f a t = M a c m

Já para a segunda lei de Newton da rotação:

2 τ = I α

R f a t = M R 2 α

Como:

α = a c m R

Temos:

M R 2 a c m R = R f a t → ( 3 ) f a t = M a c m

Somando 1 e 3 temos:

M g s e n θ = 2 M a c m → a c m = g s e n θ / 2

Substituindo na equação (1):

f a t = M g s e n θ / 2

E então:

τ → = R M g s e n θ / 2 ( k → )

Resposta

a) I P = 2 M R 2

b) Δ x = R 2 ω 0 2 g s e n θ

c) τ → = R M g s e n θ / 2 ( k → )

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