Exercícios Resolvidos de Rolamento com Deslizamento

Seja um cilindro maciço e homogêneo, de raio R e massa M ,(cilindro 1) que pode girar sem atrito em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro. O eixo está fixado em uma mesa horizontal, sobre a qual se encontra o cilindro. Enrolada na superfície curva do cilindro há uma corda inextensível, que passa por uma roldana e tem na extremidade livre um outro cilindro (cilindro 2) de massa M que cai sob a ação da gravidade. As massas da roldana e da corda são desprezíveis e a corda não desliza.

Seja agora a situação em que não há um eixo no interior do cilindro que esteja fixo à mesa, de

modo que o cilindro 1 está livre para deslizar, sem atrito, sobre a mesa. Permanecem as

condições anteriores sobre a corda, a roldana e o cilindro que cai. Nesta nova situação,

b) Escreva as equações de movimento do cilindro 1 e do cilindro 2 (isto é, escreva as equações que relacionam as forças existentes com as acelerações) .

c) Obtenha a relação entre a aceleração do cilindro 2 e as acelerações do cilindro 1.

d) Calcule a tensão na corda.

Passo 1

b)

Vamos lá. De agora em diante temos uma nova situação:

Agora, além de rotacionar, o cilindro 1 também transalada, porque não tem mais o eixo segurando ele. O cilindro 2 vai cair por ação da gravidade. Mas agora, temos uma mudança importante: O vínculo a = α R não pode mais ser usado, porque o cilindro está deslizando.

Então as acelerações dos cilindros vão ser diferentes.

Então vamos escrever as equações de movimento para os dois cilindros:

Primeiro, para o cilindro 1:

τ = I α

τ = r T sen ⁡ θ

Olhando o cilindro 1 de cima:

Então:

τ = R T

Usando a relação entre torque e aceleração angular:

R T = I α

Beleza, essa é a equação para rotação do cilindro 1.

Agora vamos ver a de translação, ainda para o cilindro 1:

A única força que puxa ele pra esquerda é a tração, como não temos movimento na vertical, o peso e a normal se anulam. Então:

F = M a 1

T = M a 1

Beleza, essa é a equação para tranlação do cilindro 1.

Para o cilindro 2, que só desce, continua a mesma coisa da letra a:

P - T = M a 2

M g - T = M a 2

Suave?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(c)

A aceleração total do cilindro 1 é:

a t = a 1 + α R

Que a aceleração de translação somada a aceleração tangencial da borda do cilindro.

Como quem tá causando essa aceleração total é a aceleração do cilindro 2, que ta puxando o cilindro 1, temos que a relação entre as acelerações é:

a 2 = a t

a 2 = a 1 + α R

Sucesso??

Passo 3

(d)

Agora ele quer a tensão. Então é só uma brincadeira com as equações que conhecemos:

Usando a equação de movimento para o cilindro 2 que achamos na letra b:

M g - T = M a 2

Usando a relação entre as acelerações que achamos na letra c:

M g - T = M ( a 1 + α R )

M g - T = M a 1 + M α R

Agora, usando a equação de movimento de rotação do cilindro 1, que achamos na letra b:

R T = I α

Isolando o α e substituindo o momento de inércia I = M R 2 2 :

α = T 2 M R

Agora, usando a equação de movimento de translação do cilindro 1, que achamos na letra b

T = M a 1

Isolando o a 1 :

a 1 = T M

Maravilha!! Agora voltando, e substituindo as acelerações:

M g - T = M a 1 + M α R

M g - T = M T M   + M   T 2 M R R

Ajeitando:

M g - T = T + 2 T

Então:

T = M g 4

Show! Isso é tudo pessoal!!

Resposta

(b) Para o cilindro 1

Rotação: R T = I α

Translação:

T = M a 1

Para o cilindro 2

Translação:

M g - T = M a 2

(c)

a 2 = a 1 + α R

(d)

T = M g 4

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