Exercícios Resolvidos de Rolamento com Deslizamento

Corpos Rígidos, Rotação, Dinâmica de Rotação, Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica

Uma aro de massa M e raio R é lançado horizontalmente com uma velocidade inicial v 0 sobre uma superfície horizontal cujos coeficientes de atrito cinético e estático são μ c e μ e .

a ) Calcule qual é a distância desde o ponto em que o aro toca a superfície até quando ele passa a rolar sem deslizar.

b ) Quando o aro começa a rolar sem deslizar, sua velocidade angular é ω r . Qual é a velocidade linear do centro de massa do aro v c m , do ponto mais alto do aro v t o p o e do ponto onde o aro toca o solo v b a s e em relação a um referencial parado no solo?

c ) Suponha agora que a partir do ponto onde o aro começa a rolar sem deslizar, com velocidade do centro de massa igual a v c m , ele começa a subir, rolando sem deslizar, uma rampa que faz um ângulo θ em relação a horizontal. Qual é a altura máxima atingida pelo centro de massa do aro? Utilize g para aceleração da gravidade.

Passo 1

a )

Sabemos que quando o aro começar a deslizar, uma força de atrito cinético irá atuar, produzindo uma aceleração linear e uma aceleração angular, então vamos montar as equações que regem o movimento do aro:

- F a t = M . a

- M . g . μ c = M . a

a = - g . μ c

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O movimento rotacional, será:

τ → = I . α

F a t . R = I . α

Onde I é o momento de inércia do aro:

M . g . μ c . R = M . R 2 .   α

α = g . μ c R

Recorrendo à cinemática para modelar as velocidades, temos:

v = v 0 - g . μ c . t

ω = ω 0 + g . μ c R . t

Passo 3

Para que o aro pare de deslizar, temos que ter: v = ω . R , substituindo, temos:

v 0 - g . μ c . t = ω 0 + g . μ c R . t . R

Isolando o t , descobriremos em que momento isso ocorre:

t = v 0 2 .   g . μ c

Ah... ω 0 =0!

Agora podemos achar a distância!

s = v 0 . t + a . t 2 2

Para o sistema, temos:

d = v 0 . v 0 2 .   g .   μ c + - g . μ c 2 . v 0 2 . g .   μ c 2

d = 3 .   v 0 8 . g   . μ c

Uffaaa....vamos para o próximo item!

Passo 4

b )

Para um referencial parado no solo, considerando um movimento de rolamento, temos:

Vamos calcular primeiro a velocidade do centro de massa!

v c m = v 0 + ( - g .   μ c ) . t

Como sabemos o t , para quando o aro começa a rolar sem deslizar, é só substituir!

v c m = v 0 - g .   μ c . (   v 0 2 .   g . μ c )

v c m = v 0 2

Passo 5

Vamos agora calcular a velocidade do ponto mais alto! Sabemos que no rolamento, a velocidade do ponto mais alto é a soma da velocidade translacional com a angular:

v t o p o = v c m + ω . R

v t o p o = v c m + v c m

v t o p o = 2 .   v c m

v t o p o = v 0

Já a velocidade do ponto que toca o solo, por também ser a soma da velocidade translacional com a angular, temos:

v b a s e = v c m - ω . R

v b a s e = v c m - v c m

v b a s e = 0

Passo 6

c )

Para descobrir a altura máxima, vamos usar a conservação da energia mecânica!

E m e c a n t e s = E m e c d e p o i s

m . v 2 2 + I . ω 2 2 = m . g . h

Substituindo o momento de inércia e a velocidade angular, temos:

m . v 2 2 + ( m . R 2 ) . v R 2 2 = m . g . h

Isolando a altura, temos:

h = v 2 2

Resposta

a )   d = 3 .   v 0 8 . g   . μ c

b )   v c m = v 0 2 v t o p o = v 0 v b a s e = 0

c )   h = v 2 2

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