Exercícios Resolvidos de Rolamento com Deslizamento

Momento Angular, Rotação, Dinâmica de Rotação

Um disco sólido uniforme é posto em rotação com velocidade angular em torno de um eixo horizontal, perpendicular ao plano do disco, passando por seu centro de massa. Depois, a borda do disco é posta em contato com uma superfície horizontal, e o disco é solto, com

seu eixo de rotação paralelo à superfície, como na figura ao lado. Seja R o raio do disco, M   sua massa e I = M R 2 2 seu momento de inércia em torno do centro de massa, e seja μ o coeficiente de atrito cinético entre o disco e a superfície. Em termos de ω o ,   R ,   M , μ e da aceleração da gravidade g :

a)Qual é o tempo necessário para que o disco deixe de derrapar?

b)Qual é a velocidade angular do disco no momento em que ele deixa de derrapar?

c)Qual é a distância percorrida enquanto o disco está derrapando?

d) Calcule a razão entre a energia cinética final e a energia cinética inicial do disco.

Passo 1

a)

Vamos antes de tudo isolar as forças que agem no corpo?

Escrevendo a Segunda Lei de Newton para rotação, a gente vai ter:

τ = I α

O torque também pode ser calculado por τ = ∑ F . d . s e n θ . Nesse caso, o Peso e a Normal estão com a linha de atuação passando no eixo de rotação, logo a única força que causará torque é a força de atrito. Assim, teremos:

τ = F a t . R . 1 = F a t . R

F a t . R = M R 2 2 . α

α = 2 F a t M R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas ah, enquanto o disco derrapa temos o que podemos chamar de rolamento com deslizamento mas quando ele para de derrapar e começa só a rolar vamos ter apenas o rolamento. Uma das características do rolamento é que a velocidade do centro de massa v c m pode ser calculada por:

v C M = ω R

Na iminência de começar a rolar, o atrito entre o disco e o chão é cinético, que pode ser calculado por:

F a t = μ . N = μ . M . g

Substituindo na fórmula do α , teremos:

α = 2 μ M g M R = 2 μ g R

Para achar a aceleração, pela Segunda Lei de Newton oficial, teremos:

F R x = M a C M

F a t = M a C M = μ M g

a C M = μ g

Passo 3

Das equações da cinemática a gente pode relacionar o α com ω e o a com v C M e daí utilizar a relação   v C M = ω R que sabemos que temos que usar em algum momento, pois é a condição do problema:

ω = ω o - α t

ω = ω o - 2 μ g R t

Já para a velocidade linear:

v = v o + a t

Como v o = 0 , vamos ter:

v = a t = μ g t

Passo 4

Fazendo v = ω R , vai restar...

μ g t = ω o - 2 μ g R t R

3 μ g t = ω o . R

t = ω o R 3 μ g

Passo 5

b)

Já vimos ali em cima a relação que podemos utilizar pra resolver essa letra b, é ela:

ω = ω o - 2 μ g R t

Tacando o t que a gente já sabe a questão sai!

ω = ω o - 2 μ g R . ω o R 3 μ g = ω o 3

Passo 6

c)

Para achar a distância percorrida nesse tempo basta calcular a integral da velocidade, que é o deslocamento. Assim, podemos escrever:

d = ∫ v d t = ∫ μ g t d t = μ g t 2 2 = μ g 2 ω o R 3 μ g 2 = ω o 2 R 2 18 μ g

Passo 7

d)

ε = K i K f

No início só temos rotação, logo a única energia cinética será de rotação e a expressão é simplesinha.

K i = I ω o 2 2 = M R 2 4

Já falei pra vocês que quando o disco começar a deslizar haverá o que chamamos de rolamento sem deslizamento e v C M = ω R . Haverá energia cinética de translação e rotação, podendo ser achadas por:

K f = I ω 2 2 + M v 2 2 = M R 2 ω 2 4 + M v 2 2

K f = M 2 R 2 ω 2 2 + ω 2 R 2 = 3 4 M R 2 ω 2

Como calculamos no Passo 5, ω = ω o 3 .

Substituindo no K f , a gente vai ter:

K f = 3 4 M R 2 . ω o 2 9 = M R 2 ω o 2 12

Dividindo um pelo outro, vai restar:

ε = K i K f = M R 2 ω o 2 4 M R 2 ω o 2 12 = 3

Resposta

  1. t = ω o R 3 μ g
  2. ω = ω o 3
  3. d = ω o 2 R 2 18 μ g
  4. K i K f = 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas