Exercícios Resolvidos de Rolamento com Deslizamento

Considere uma roda de massa M , raio R e momento de inércia I C M girando com velocidade angular inicial ω 0 , sentido horário, baixada sobre uma superfície plana horizontal rugosa com seu centro de massa em repouso inicialmente. O coeficiente de atrito cinético entre a roda e o plano é μ C . A seguir a roda se move no sentido positivo do eixo x , deslizando e girando durante um intervalo de tempo Δ t . Após o instante de tempo t f , segue rolando sem deslizar.

Indique no desenho, as forças que agem sobre a roda durante Δ t . Determine na forma literal uma expressão para o coeficiente de atrito cinético em função dos dados citados.

Passo 1

Temos 3 forças aqui: a força peso, normal e o atrito cinético (pois a roda desliza). As forças estão apontadas abaixo

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiramente temos que a roda não realiza movimentos na direção y assim temos que

N = P = M g

E o atrito cinético, no intervalo de tempo Δ t , é dado por

F a t = μ C N = μ C M g

Passo 3

Na direção x temos que a força resultante é a força de atrito, ou seja

M a = F a t → M a = μ C M g

a = μ C g

Beleza! O problema é que a aceleração não nos foi dada! Então temos que relacionar com os dados do problema.

Vamos ver o que eu tenho aqui... momento de inércia, raio, velocidade angular inicial, massa, intervalo de tempo Δ t ... um montão de coisas! E como a gente relaciona isso tudo?!

Bem, podemos começar a falar de rotações, já que temos momento de inércia, raio e essas coisas.

Passo 4

O nosso atrito cinético só aparece durante no intervalo de tempo Δ t .

Como a roda desliza não podemos usar α = ω R !

O que sabemos aqui é que esse atrito exerce um torque sobre a roda

τ = F a t R = μ C M g R

E esse atrito está no sentido contrário da velocidade angular da roda, ou seja, causa uma desaceleração angular dada por

α = - τ I C M = - μ C M g R I C M

Nesse intervalo Δ t a nossa roda sofre uma mudança de velocidade angular dada por α Δ t . Como antes desse intervalo a velocidade angular era ω 0 e depois desse intervalo essa velocidade angular volta a ficar constante e é dada por ω ( t f ) , temos

ω t f - ω 0 = α Δ t

ω t f - ω 0 = - μ C M g R I C M Δ t

Agora só falta esse ω ( t f ) !!! Caaalllllmaaa! Tamo chegando já! Vem comigo o/

Passo 5

Pra achar esse ω ( t f ) , agora podemos usar a condição de não-deslizamento!

ω t f R = v t f

Onde v ( t f ) é a velocidade do centro de massa da roda (movimento de translação). No intervalo de tempo Δ t temos que o centro de massa da nossa roda está em um movimento acelerado devido à força de atrito!

Sim! Ela está aumentando a velocidade de translação e diminuindo a velocidade de rotação!

Nesse intervalo de tempo a velocidade aumentou a Δ t

Essa aceleração já calculamos lá no começo! Assim temos

v t f - v 0 = a Δ t = μ C g Δ t

Pelo enunciado temos que essa velocidade inicial v 0 é nula, ou seja

v t f = μ C g Δ t

Assim finalmente chegamos em

ω t f = v t f R

ω t f = μ C g Δ t R

Passo 6

Agora podemos finalmente juntar tudo!

Partimos de

ω t f - ω 0 = - μ C M g R I C M Δ t

E usamos que

ω t f = μ C g Δ t R

Assim

μ C g Δ t R - ω 0 = - μ C M g R I C M Δ t

Isolando μ C

μ C g Δ t 1 R + M R I C M = ω 0

μ C g Δ t 1 R + M R 2 I C M R = μ C g Δ t R 1 + M R 2 I C M = ω 0

μ C = ω 0 R g Δ t 1 + M R 2 I C M

E tadááááá! Deu trabalho mas ficou lindão no final :)

Resposta

Diagrama de forças

μ C = ω 0 R g Δ t 1 + M R 2 I C M

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