Exercícios Resolvidos de Rolamento com Deslizamento

Torque

Uma pedra esférica, uniforme e maciça parte do repouso e rola pra baixo de uma colina de 50 m de altura. A metade superior da colina é áspera o suficiente para fazer a pedra rolar sem deslizar, mas a metade inferior está coberta de gelo e não há atrito. Dado: momento de inércia de uma esfera girando ao redor do eixo que passa pelo seu centro de massa: I = 2 5 m r 2 .

  1. Desenhe as forças que agem sobre a pedra quando ela desce a parte superior da colina, justificando o sentido da força de atrito.
  2. Qual é o modulo da velocidade de translação da pedra quando ela atinge a base da colina?
  3. Qual é o módulo da velocidade angular da pedra na base da colina?

Passo 1

a):

Onde:

N → : Normal.

P → : Peso.

F a t → : Força de atrito.

A força de atrito tem esse sentido porque deve fazer a esfera girar no sentido horário, já que ela está descendo o plano.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Bom galera, aqui a gente tem que usar a conservação de energia entre a altura máxima da colina e a metade da sua altura, já que ali é o ultimo ponto onde há força de atrito capaz de fazer a bola girar.

Assim:

E p o t e n c i a l = E c i n é t i c a

Só que a energia cinética é a soma da energia cinética de translação mais de rotação:

E c i n é t i c a = E t r a n s l a ç ã o + E r o t a ç ã o

E t r a n s l a ç ã o = m v 2 2

E r o t a ç ã o = I ω 2 2

Além de que:

E p o t e n c i a l = m g H 2

Beleza? Então:

m g H 2 = m v 2 2 + I ω 2 2

Vamos usar ali a condição de rolamento que diz que:

v = ω r → ω = v r

Então:

m g H 2 = m v 2 2 + 2 5 m r 2 . 1 2 . v 2 r 2

m g H 2 = m v 2 2 + 1 5 m v 2 = 7 10 m v 2

v 2 = 5 g H 7 → v = 5 g H 7

Beleza. Essa é a velocidade na metade superior da colina. Agora precisamos calcular a velocidade na metade inferior. Pra isso, é só usar a conservação da energia mecânica:

E M I = E M F

1 2 m v 1 2 + m g H 2 = 1 2 m v f 2

1 2 m 5 g H 7 2 + m g H 2 = 1 2 m v f 2

1 2 v f 2 = 5 g H 14 + g H 2

v f 2 = g H + 5 g H 7 = 12 g H 7 → v f = 12 g H 7   m / s

Passo 3

c):

Após a força de atrito, a rotação não muda, já que não há mais uma força aplicando o torque na bola. Assim, podemos calcular a velocidade de rotação final usando a velocidade:

v = 5 g H 7

E:

v = ω r → ω = v r

Então:

ω = v r = 5 g H 7 r 2   r a d / s

Resposta

a):

b):

v f = 12 g H 7   m / s

c):

ω = 5 g H 7 r 2   r a d / s

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