Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Ache uma equação da superfície cilíndrica de diretriz

C :   x 2 + y 2 + z 2 = 4 z = 0

Cujas geratrizes são paralelas à reta Δ :   x = λ y = λ + 1 z = 2 λ

Passo 1

Chegou a hora de praticarmos Superfícies Cilíndricas!! Vamos colocar em prática o que vimos na teoria ;).

Passo 2

Começaremos identificando o que o problema nos fornece de dados!!

Primeiro, temos as duas equações da diretriz da superfície que são:

C :   x 2 + y 2 + z 2 = 4 z = 0

Na teoria essas duas expressões foram escritas da seguinte forma:

Γ : f x , y , z = 0 g x , y , z = 0

No nosso exercício o f e o g são:

C :   f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 4 = 0 g x , y , z = z = 0

A outra informação que temos é que as retas geratrizes são paralelas à reta com equações paramétricas:

Δ :   x = λ y = λ + 1 z = 2 λ

Fazendo o comparativo com a teoria, essa reta é a reta r .

Então, por meio dessas equações paramétricas que iremos tirar o vetor diretor de r !

Lembra como faz isso?? NÃO? =O

Calma lá, vamos te mostrar!

Quando temos equações paramétricas de uma reta:

r :   x = x o + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t

onde o nosso parâmetro é o c, então as coordenadas de um ponto que pertence a essa reta são dadas por ( x 0 , y 0 , z 0 ) e o vetor diretor da reta é o vetor de coordenadas a , b , c .

Se você quiser uma explicação mais detalhada, dá uma olhadinha lá no tópico de Introdução às Retas, beleza?? =)

Mas nesse caso aí, chegamos ao vetor diretor:

m ,   n ,   p = ( 1 ,   1 ,   2 )

Passo 3

Sabendo o vetor diretor de r , conseguimos montar a relação:

f x + λ , y + λ , z + 2 λ = 0 g x + λ , y + λ , z + 2 λ = 0

Substituindo temos:

C :   ( x + λ ) 2 + ( y + λ ) 2 + ( z + 2 λ ) 2 - 4 = 0 z + 2 λ = 0

Passo 4

Estamos quase terminando!!

Do sistema que encontramos anteriormente,

C :   ( x + λ ) 2 + ( y + λ ) 2 + ( z + 2 λ ) 2 - 4 = 0 z + 2 λ = 0

Na segunda equação vamos isolar λ , teremos que:

λ = - z 2

Vamos então, substituir essa relação na primeira equação:

( x - z 2 ) 2 + ( y - z 2 ) 2 + ( z - z ) 2 - 4 = 0

x - z 2 2 + y - z 2 2 = 4

Pronto!! Chegamos na equação da superfície cilíndrica!!

Resposta

x - z 2 2 + y - z 2 2 = 4

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Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. b )x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om e n o r .
Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om a i o r .
Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno de O z ( Γ é descrita por equações paramétricas).(c) Γ : x = λ + 1 ,y = λ - 1 ,z = λ 2
Se as retas r e s são reversas, não ortogonais, a superfície gerada pela rotação de s em torno de r é uma que já estudamos. Identifique-a.
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