Exercícios Resolvidos de Tensão cisalhante e tipos de fluidos

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Enunciado

(Adaptada) A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por

u u m á x = 1 - 2 y h 2

em que h é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 20°C, com u m á x = 0,10   m / s e h   =   0,1   m m . Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido.

Passo 1

Eu sei... esse enunciado pode parecer um pouco assustador de primeira, mas eu te trago ótimas notícias:

Finalmente chegou a sua hora de brilhar e calcular a tensão de cisalhamento! =D Tamo junto nessa!

E qual o segredo? Bem, para esse primeiro momento, vamos precisar da tensão cisalhante, da viscosidade e da taxa de deformação. Como se trata da água, que é fluido newtoniano, vale a Lei de Newton da Viscosidade:

τ x y = μ d u d y

Vejamos... a viscosidade da água a 20°C tem um valor certo. Além disso, o enunciado deu o perfil de velocidade. Então, para achar a tensão cisalhante, precisamos derivar esse perfil de velocidade aí em relação a y. Bora?

Passo 2

Vamos encontrar a taxa de deformação d u d y . Para isso, vamos derivar o perfil de velocidade, esse cara aqui:

u u m á x = 1 - 2 y h 2

Vamos derivar esse perfil em relação a y . Mas antes vamos dar uma organizada nessa equação aí:

u = u m á x 1 - 2 y h 2

u = u m á x - 4 u m á x h 2 y 2

Agora sim! Lembrando que u m á x é a velocidade máxima e é uma constante. h é a distância que separa as duas placas, então também é uma constante. Então, derivando u em relação a y:

d u d y = - 2 4 u m á x h 2 y

Organizando melhor:

d u d y = - 8 u m á x h 2 y

Bem, então se a gente souber o valor dessas constantes u m á x e h , vamos finalmente conhecer a taxa de deformação d u d y . A boa notícia é: o enunciado já deu esses valores! São u m á x = 0,10   m / s e h   =   0,1   m m .

Para substituir, precisamos passar tudo para o Sistema Internacional. A velocidade já está em metros por segundo. Só falta colocar a altura em metros:

h   =   0,1   m m = 0,1 × 10 - 3   m =   10 - 4   m

Substituindo:

d u d y = - 8   × 0,10 10 - 4 2 y

d u d y = - 8   × 10 7 y

Opa! Encontramos a taxa de deformação!

Passo 3

Para achar a tensão cisalhante, vamos substituir a expressão que encontramos para a taxa de deformação na Lei de Newton da Viscosidade:

τ x y = μ d u d y

Substituindo:

d u d y   =   - 8   × 10 7 y

τ x y = μ × - 8   × 10 7 y

Lembrando que a viscosidade da água é μ =   10 - 3   P a . s

τ x y = - 10 - 3 × 8   × 10 7 y

τ x y = - 8   × 10 4 y

Encontramos então uma expressão para a tensão cisalhante.

Passo 4

Calculamos a tensão cisalhante. Tá faltando alguma coisa? Repara que o enunciado pediu para calcular a tensão cisalhante na placa superior. Ou seja, precisamos substituir o y que corresponde à posição da placa superior nessa expressão de τ x y   que encontramos no passo 3.

Em matematiquês:

τ x y ,   p l a c a   s u p e r i o r = - 8   × 10 4 y p l a c a   s u p e r i o r

E quem é o y p l a c a   s u p e r i o r ?

Voltando ao enunciado, lá diz que a “origem está na linha mediana entre as placas”. E lembrando que a distância entre as placas é h =   10 - 4   m . A figura ilustra a situação:

Repara que a gente definiu como “positivo” pra cima e pra direita 😉

Substituindo y p l a c a   s u p e r i o r = 0,00005   m

τ x y ,   p l a c a   s u p e r i o r = - 8   × 10 4 × 5   × 10 - 5

τ x y ,   p l a c a   s u p e r i o r = - 4   N / m 2

Encontramos o que o exercício pediu! A tensão de cisalhamento na placa superior é - 4   N / m 2 .

Na figura vemos que o sentido positivo é para a direita. Como encontramos a tensão com sinal negativo, podemos concluir que o sentido da tensão é para a esquerda. Eu não falei que era seu momento de brilhar?

Resposta

τ x y ,   p l a c a   s u p e r i o r = - 4   N / m 2

Sentido: da direita para a esquerda

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