Exercícios Resolvidos de Tensão cisalhante e tipos de fluidos

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Enunciado

Para o campo de tensão bidimensional da figura abaixo sabe-se que:

σ x x = 143.640 N m 2

σ y y = 95.760 N m 2

σ x y = 23.940 N m 2

Encontre as tensões de cisalhamento e normal ( e m   N / m 2 ) que atuam sobre o plano de corte AA no elemento, a um ângulo de 30 ° como mostra a figura.

Passo 1

Queremos as tensões que irão atuar no elemento no plano de corte A A , então a primeira coisa que vamos fazer é desenhar o elemento cortado.

Para que o elemento não saia andando perdido pelo mundo o somatório de tensões deve ser zero, certo?

∑ F → = 0

Bem, podemos fazer isso de duas formas, uma seria decompor as forças na direção do corte e a outra seria decompor as tensões na direção x y .

O mais fácil é decompor no plano do corte, assim podemos começar a fazer o sistema de equações para resolver o problema.

Passo 2

Então agora vamos fazer o sistema de equações na direção perpendicular ao corte A A . O somatório de forças nessa direção tem que ser zero, e nessa direção temos a ação da força normal σ A A e das outras tensões ( σ x x   ; σ y y   ; σ x y   ) decompostas.

Então vamos começar a decompor as tensões, assumindo que σ A A   está na direção positiva.

Só que a lei de Newton é sobre força e não pressão, então temos que multiplicar pelo comprimento do quadrado. O certo seria pela área, mas como a espessura é a mesma então cortamos ela e sobra só o comprimento, falou?

Confuso? Bem, olha a imagem abaixo, onde adotamos que o comprimento do corte é L , assim o comprimento da lateral será L . sen ⁡ 30 ° e da base será L . cos ⁡ 30 ° .

Multiplicando a tensão pelo comprimento do lado em que ela é aplicada temos:

∑ F → σ A A = 0 = σ A A . L - σ x x . sen ⁡ 30 + σ x y . cos ⁡ 30   . L   . sen ⁡ 30 - σ y y . cos ⁡ 30 + σ x y . s e n   30 . L . cos ⁡ 30

Cortando L e substituindo os valores dados no enunciado para descobrir σ A A temos:

σ A A = 143 . 640   . 1 2 . 1 2 + 23 . 940   . 3 2 . 1 2 + 95 . 760 . 3 2 . 3 2 + 23 . 940   .   1 2 . 3 2    

σ A A = 35 . 91 0 + 10 . 3 66 + 71 . 82 0 + 10 . 366

σ A A = 128 . 4 62   N m 2

Assim, o valor da tensão normal é: σ A A = 128 . 4 62   N m 2 = 128,5   k N m 2

Passo 3

Agora vamos equacionar na direção de cisalhamento:

∑ F → τ A A = 0 = τ A A . L + - σ x x . cos ⁡ 30 + σ x y . sen ⁡ 30 . L . sen ⁡ 30 + σ y y . sen ⁡ 30 - σ x y . cos ⁡ 30 . L . cos ⁡ 30

Cortando o L   e substituindo os valores dados no enunciado para descobrir τ A A temos:

τ A A = 143 . 640   . 3 2 . 1 2 - 23 . 940   . 1 2 . 1 2   - 95 . 760 . 1 2 .   3 2 + 23 . 940   .   3 2 .   3 2    

τ A A = 62 . 198 - 5 . 98 5 - 41 . 46 5 + 17 . 95 5

τ A A = 32 . 7 03   N m 2 = 32,7 k N m 2  

Resposta

σ A A = 128 , 5 k N m 2

τ A A = 32,7 k N m 2

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