Exercícios Resolvidos de Tensão cisalhante e tipos de fluidos

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Enunciado

(Adaptada) Entre duas placas paralelas de área 1   m 2 cada, estão contidos dois fluidos imiscíveis com viscosidades μ 1 = 0,1   N . s / m 2 e μ 2 = 0,15   N . s / m 2 conforme mostra a figura. As espessuras das camadas de líquido são h 1 = 0,5   m m e h 2 = 0,3   m m , respectivamente. a) Determine a força F para fazer com que a placa superior se mova a uma velocidade de 1   m / s . b) Qual é a velocidade do fluido na interface entre os dois fluidos?

Passo 1

Fala aí, jovem padawan! Ansioso para lição Jedi de hoje? Vamos aprender a usar a famosa Tensão Cisalhante.

“Ué, mas o enunciado não tá pedindo a Força? Que mané Tensão Cisalhante!”

Olha, como se trata de fluidos, a tensão cisalhante é o caminho para achar a força. Lembra que a tensão é a força sobre a área? Então...

τ x y =   F A

  F = τ x y . A

Como o enunciado está pedindo a força para fazer com que a placa se mova, então já conhecemos a área! É a área da placa, cujo valor é 1   m 2 . Para achar a força, falta encontrar a tensão cisalhante. É justamente ela que vamos buscar agora.

Passo 2

Para fluidos newtonianos, sabemos que essa fórmula aqui é válida (e se chama Lei de Newton da Viscosidade).

τ x y =   μ d u d y

A viscosidade μ de cada fluido foi dada pelo enunciado. Já temos esses valores. Show!

Agora vou te mostrar como calcular esse d u / d y . A boa notícia é que não é cabuloso (ufa!). Na figura podemos ver que os perfis de velocidade de cada fluido são retas (estão em azul). Repare que são duas retas diferentes, uma para cada fluido. As velocidades u nas placas e na interface estão destacadas na figura. v i   é a velocidade na interface.

Então para achar esse d u / d y de cada fluido, vamos fazer assim:

d u 1 d y =   v i - 0 h 1 - 0  

d u 2 d y =   v - v i h 1 + h 2 - h 1

Como o enunciado diz os valores das alturas h 1 e h 2 , só vamos nos preocupar em colocar no sistema internacional. Logo: h 1 = 0,5.10 - 3 m e h 2 = 0,3.10 - 3 m . Além disso, queremos que a velocidade da placa superior seja 1   m / s , isto é, v   =   1   m / s . Com isso, só falta descobrir v i para encontrar d u / d y .

Passo 3

Aí que surge a sacada do exercício! A tensão do fluido 1 possui o mesmo valor em módulo da tensão do fluido 2 na interface. Ou seja, vamos igualar:

τ 1 i   =   τ 2 i

μ 1 d u 1 d y i =   μ 2 d u 2 d y i

Substituindo μ 1 = 0,1   N . s / m 2 e μ 2 = 0,15   N . s / m 2 e as expressões que encontramos no Passo 2:

0,1 v i h 1 =   0,15 v - v i h 2

Lembrando que h 1 = 0,5.10 - 3 m e h 2 = 0,3.10 - 3 m e v   =   1   m / s :

0,1 v i 0,5 × 10 - 3 =   0,15 1 - v i 0,3 × 10 - 3

Reorganizando:

0,1 × 0,3 0,15 × 0,5 v i =   1 - v i

1 + 0,1 × 0,3 0,15 × 0,5 v i =   1

v i = 0,714   m / s

Encontramos a velocidade dos fluidos na interface!

Passo 4

E a força, jovem padawan?

Agora que sabemos quem é v i , nós vamos conseguir calcular d u / d y . E, com isso, achamos a tensão cisalhante e, logo, a força!

Então, vamos lá, lembrando a equação que achamos:

d u 2 d y =   v - v i h 2 = 1 - 0,714 0,3 × 10 - 3 = 953,3  

A tensão cisalhante vai ser então: τ 2 =   μ 2 d u 2 d y

τ 2 =   0,15 × 953,3 = 143   P a

Agora sim, podemos calcular a força

F = τ x y .   A

F = 143 × 1

F = 143   N

Resposta

F = 143   N

v i = 0,714   m / s

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