Exercícios Resolvidos de Tensão cisalhante e tipos de fluidos

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Enunciado

Para o campo de tensão bidimensional da Figura abaixo considere que

σ x x = 95.760   N / m 2       σ y y = 143.640   N / m 2         σ n A A = 119.700   N / m 2

Calcule:

( a ) a tensão de cisalhamento σ x y

( b ) a tensão de cisalhamento no plano A A .

Passo 1

a Como vimos na questão anterior, quando fazemos o corte temos a seguinte configuração:

O equacionamento será feito igualzinho fizemos no exercício anterior, decompondo as tensões na direção do corte.

Repara que igualamos σ x y = σ y x , porque o elemento não está sujeito à rotação.

E na hora de equacionar, temos que lembrar que a lei de Newton é “somatório de forças igual a zero”, e o que temos é tensão. Pra transformar a nossa tensão em força, devemos multiplicá-la por uma área. Então consideramos a “profundidade” do elemento constante e multiplicamos as tensões pelo comprimento da “aresta” no qual cada tensão está atuando. Vamos definir o comprimento do corte como L , então:

Agora vamos por todas as pressões na direção normal ao corte, multiplicando elas pelo comprimento do respectivo lado, beleza?

E assim vamos obter a seguinte equação:

∑ F → σ A A = 0 = σ A A . L - σ x x . s e n   30 + σ x y . cos ⁡ 30   . L s e n 30 - σ y y . cos ⁡ 30 + σ x y . s e n   30 . L c o s 30

Isso, nada mudou até agora em relação ao exercício anterior. O que vai mudar vai ser agora: não temos mais o valor de σ x y , mas temos o valor de σ A A .

Assim, cortando L   e substituindo os valores que temos, chegamos em:

σ A A = σ x x . s e n   30 + σ x y . cos ⁡ 30   . s e n 30 + σ y y . cos ⁡ 30 + σ x y . s e n   30 . c o s 30

σ A A = σ x x . s e n   30 s e n   30 + σ x y . cos ⁡ 30   s e n   30 + σ y y . cos ⁡ 30 . c o s 30 + σ x y . s e n   30 . c o s 30

Repare que todas as unidades são múltiplas de 1000. Então podemos escrever todas elas divididas por 1000 e vamos encontrar o resultado em k N / m 2 .

119,7 = 95,76   . 1 2 . 1 2 + σ x y   . 3 2 . 1 2 + 143,64 . 3 2 . 3 2 + σ x y   .   1 2 . 3 2

Podemos isolar σ x y :

σ x y = 119,7 - 95,76   . 1 2 . 1 2 - 143,64 . 3 2 . 3 2 2 .   1 2 . 3 2

E resolvendo a equação, encontramos o valor de σ x y :

σ x y =   119,7 - 23,94 - 107,93 4 2 3

σ x y = - 12,17 . 4 2 3

σ x y = - 14,05   k N / m 2

Passo 2

b   Bem, agora que temos a tensão σ x y , podemos igual fizemos na questão anterior resolver o problema.

Basta equacionarmos todas as pressões que atuam na direção de cisalhamento A A .

∑ F → τ A A = 0 = τ A A . L + - σ x x . c o s   30 + σ x y . s e n   30 . L s e n   30 + σ y y . sen ⁡ 30 - σ x y . c o s   30 . L c o s 30

Cortando o L   e substituindo os valores dado no enunciado para descobrir τ A A temos:

τ A A . L = σ x x . c o s   30 - σ x y . s e n   30 . L s e n   30 - σ y y . sen ⁡ 30 - σ x y . c o s   30 . L c o s 30

τ A A = σ x x . c o s   30 s e n   30 - σ x y . s e n   30 s e n   30 - σ y y . sen ⁡ 30 c o s 30 + σ x y . c o s   30 c o s 30

τ A A = 95,76   . 3 2 . 1 2 — 14,05   . 1 2 . 1 2   - 143,64 . 1 2 .   3 2 + - 14,05   .   3 2 .   3 2    

τ A A = 41,46 + 3,51 - 62,20 - 10,53

τ A A = - 27,8   k N / m 2

Resposta

a   σ x y = - 14,05   k N / m 2

b   τ A A = - 27,8   k N / m 2

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