De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função .
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Passo 1
Fala Aí! Como conseguimos verificar em qual dos intervalos contem uma raiz da função ?
Nós iremos utilizar o Teorema de Bolzano para descobrir qual dos intervalos contem uma raiz da função.
Tá... mas o que esse teorema diz?
Esse teorema diz que se acontecer o caso de , dizemos que existe pelo menos uma raiz com valor igual a () entre o intervalo [a,b].
Calma!!! No fundo o que temos que fazer é testar valores na função e verificar se a multiplicação deles dará um valor menor do que zero. Se isso acontecer, o teorema nos garante que tem uma raiz no intervalo entre esses pontos.
Passo 2
Vamos pegar os extremos do intervalo e substituir na função do enunciado pra ver o que vai acontecer! Assim, calculando e temos:
Substituindo temos
Fazendo as continhas, temos
Beleza... Temos como resultado um valor negativo, certo?! Agora vamos calcular :
Substituindo temos
Fazendo as continhas, temos
O resultado é outro valor negativo, concorda?!
Com o teorema de Bolzano, temos que multiplicar
E se o resultado da multiplicação for um número menor que zero, então temos uma raiz no intervalo!
Fazendo as continhas, temos
Opa!! O resultado deu um número positivo, ou seja, não podemos garantir que temos uma raiz nesse intervalo!
Passo 3
Vamos continuar com o mesmo raciocínio para os outros intervalos! Para o intervalo da opção (b), temos
Substituindo :
Fazendo as continhas, temos
Temos um valor negativo! Agora no outro extremo do intervalo, temos
Substituindo :
Fazendo as continhas, temos
Aqui o nosso resultado deu um número positivo! Vamos agora utilizar o Teorema de Bolzano para verificar se temos alguma raiz nesse intervalo :
OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzao então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo .
Já sabemos que a nossa resposta é a letra B! Mas vamos fazer as continhas nos outros intervalos para verificarmos o que vai acontecer?
Passo 4
Para o intervalo da opção (c), temos
Substituindo :
Fazendo as continhas, temos
Temos um valor negativo! Agora no outro extremo do intervalo, temos
Substituindo :
Fazendo as continhas, temos
Temos um valor negativo! Vamos agora utilizar o Teorema de Bolzano para verificar se temos alguma raiz nesse intervalo :
OPA! A multiplicação deu um valor maior do que zero, então não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.
Passo 5
Pra fechar com chave de ouro, vamos verificar no último intervalo :
Substituindo :
Fazendo as continhas, temos
Temos um valor negativo! Agora no outro extremo do intervalo, temos
Substituindo :
Fazendo as continhas, temos
Temos outro valor negativo! Vamos agora utilizar o Teorema de Bolzano para verificar se temos alguma raiz nesse intervalo :
OPA! A multiplicação deu um valor maior do que zero, então não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.
Beleza?!
Portanto, a nossa resposta é a letra B!
Resposta
Letra B