Exercícios Resolvidos de Teorema de Bolzano

Enunciado

De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f x = x 3 - 8 x - 1 .

  1. 0 e 0,5
  2. 2 e 3
  3. 1 e 2
  4. 0,5 e 1

Passo 1

Fala Aí! Como conseguimos verificar em qual dos intervalos contem uma raiz da função f ?

Nós iremos utilizar o Teorema de Bolzano para descobrir qual dos intervalos contem uma raiz da função.

Tá... mas o que esse teorema diz?

Esse teorema diz que se acontecer o caso de f a . f b < 0 , dizemos que existe pelo menos uma raiz com valor igual a ξ ( x = ξ ) entre o intervalo [a,b].

Calma!!! No fundo o que temos que fazer é testar valores na função e verificar se a multiplicação deles dará um valor menor do que zero. Se isso acontecer, o teorema nos garante que tem uma raiz no intervalo entre esses pontos.

Passo 2

Vamos pegar os extremos do intervalo e substituir na função do enunciado pra ver o que vai acontecer! Assim, calculando f 0 e f 0 , 5 temos:

f x = x 3 - 8 x - 1

Substituindo x = 0 temos

f 0 = 0 3 - 8 0 - 1

Fazendo as continhas, temos

f 0 = - 1

Beleza... Temos como resultado um valor negativo, certo?! Agora vamos calcular f 0 , 5 :

f x = x 3 - 8 x - 1

Substituindo x = 0,5 temos

f 0 , 5 = ( 0 , 5 ) 3 - 8 0 , 5 - 1

Fazendo as continhas, temos

f 0 , 5 = - 4,9

O resultado é outro valor negativo, concorda?!

Com o teorema de Bolzano, temos que multiplicar

f 0 ∙ f 0 , 5

E se o resultado da multiplicação for um número menor que zero, então temos uma raiz no intervalo!

Fazendo as continhas, temos

f 0 ∙ f 0 , 5 = - 1 ∙ - 4,9 = 4,9

Opa!! O resultado deu um número positivo, ou seja, não podemos garantir que temos uma raiz nesse intervalo!

Passo 3

Vamos continuar com o mesmo raciocínio para os outros intervalos! Para o intervalo da opção (b), temos

f x = x 3 - 8 x - 1

Substituindo x = 2 :

f 2 = ( 2 ) 3 - 8 ( 2 ) - 1

Fazendo as continhas, temos

f 2 = - 9

Temos um valor negativo! Agora no outro extremo do intervalo, temos

f x = x 3 - 8 x - 1

Substituindo x = 3 :

f 3 = ( 3 ) 3 - 8 ( 3 ) - 1

Fazendo as continhas, temos

f 2 = 2

Aqui o nosso resultado deu um número positivo! Vamos agora utilizar o Teorema de Bolzano para verificar se temos alguma raiz nesse intervalo ( 2 ; 3 ) :

f 2 ∙ f 3 = - 9 ∙ 2 = - 18

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzao então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo [ 2 ; 3 ] .

Já sabemos que a nossa resposta é a letra B! Mas vamos fazer as continhas nos outros intervalos para verificarmos o que vai acontecer?

Passo 4

Para o intervalo da opção (c), temos

f x = x 3 - 8 x - 1

Substituindo x = 1 :

f 1 = ( 1 ) 3 - 8 ( 1 ) - 1

Fazendo as continhas, temos

f 2 = - 8

Temos um valor negativo! Agora no outro extremo do intervalo, temos

f x = x 3 - 8 x - 1

Substituindo x = 2 :

f 2 = ( 2 ) 3 - 8 ( 2 ) - 1

Fazendo as continhas, temos

f 2 = - 9

Temos um valor negativo! Vamos agora utilizar o Teorema de Bolzano para verificar se temos alguma raiz nesse intervalo ( 2 ; 3 ) :

f 1 ∙ f 2 = - 8 ∙ - 9 = 72

OPA! A multiplicação deu um valor maior do que zero, então não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.

Passo 5

Pra fechar com chave de ouro, vamos verificar no último intervalo ( 0 , 5 ; 1 ) :

f x = x 3 - 8 x - 1

Substituindo x = 0,5 :

f 0,5 = ( 0,5 ) 3 - 8 ( 0,5 ) - 1

Fazendo as continhas, temos

f 0,5 = - 4,9

Temos um valor negativo! Agora no outro extremo do intervalo, temos

f x = x 3 - 8 x - 1

Substituindo x = 1 :

f 1 = ( 1 ) 3 - 8 ( 1 ) - 1

Fazendo as continhas, temos

f 2 = - 8

Temos outro valor negativo! Vamos agora utilizar o Teorema de Bolzano para verificar se temos alguma raiz nesse intervalo ( 0,5 ; 1 ) :

f 0,5 ∙ f 1 = - 4,9 ∙ - 8 = 39

OPA! A multiplicação deu um valor maior do que zero, então não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.

Beleza?!

Portanto, a nossa resposta é a letra B!

Resposta

Letra B