Exercícios Resolvidos de Teorema de Bolzano

Enunciado

Seja f x =   x 5 + x +   1 . Justifique a afirmação: f tem pelo menos uma raiz no intervalo [ - 1,0 ] .

Passo 1

Vamos láá! Aqui nesse exercício queremos provar que existe uma raiz no intervalo [ - 1,0 ] para a função f x =   x 5 + x +   1 , certo?! E como podemos fazer isso? Nós conseguimos garantir que vai existir uma raiz num determinado intervalo pelo Teorema de Bolzano (se as condições do teorema forem satisfeitas, né?! Rs)

Tá... mas o que esse teorema diz?

Esse teorema diz que se acontecer o caso de f a . f b < 0 , dizemos que existe pelo menos uma raiz com valor igual a ξ ( x = ξ ) entre o intervalo [a,b].

Calma!!! No fundo o que temos que fazer é testar valores na função e verificar se a multiplicação deles dará um valor menor do que zero. Se isso acontecer, o teorema nos garante que tem uma raiz no intervalo entre esses pontos.

Vamos fazer com calma passo a passo!

Passo 2

Vamos pegar os extremos do intervalo e substituir na função do enunciado pra ver o que vai acontecer! Assim, calculando f - 1 e f 0 temos:

f x =   x 5 + x +   1

Substituindo x = - 1 temos

f - 1 =   ( - 1 ) 5 + ( - 1 ) +   1

Fazendo as continhas, temos

f - 1 = - 1

Beleza... Temos como resultado um valor negativo, certo?! Agora vamos calcular f 0 :

f x =   x 5 + x +   1

Substituindo x = 0 temos

f 0 =   ( 0 ) 5 + ( 0 ) +   1

Fazendo as continhas, temos

f 0 = 1

O resultado é outro valor positivo, concorda?!

Com o teorema de Bolzano, temos que multiplicar

f - 1 ∙ f 0

E se o resultado da multiplicação for um número menor que zero, então temos uma raiz no intervalo!

Fazendo as continhas, temos

f - 1 ∙ f 0 = - 1 ∙ 1 = - 1

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzao então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo [ - 1 , 0 ] .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)