Exercícios Resolvidos de Teorema de Bolzano

Enunciado

Considere a equação x 3 - x 2 + 3 = 0 . É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo?

  1. ( - 2,0 ;   - 1,5 )
  2. ( - 1,5 ;   - 1,0 )
  3. - 1,0 ;   0,0
  4. ( 0,0 ; 1,0 )

Passo 1

Fala Aííí!! Como podemos atacar esse exercício? Se você reparar, queremos localizar um intervalo que contenha essa raiz, certo?! Esse trabalho de encontrar o intervalo que contenha a raiz chamamos de isolar a raiz!!

Tá... mas o que vai nos garantir que um dos intervalos das opções dadas contém uma raiz??

O que vai nos garantir é o Teorema de Bolzano! Esse teorema diz que se acontecer o caso de f a . f b < 0 , dizemos que existe pelo menos uma raiz com valor igual a ξ ( x = ξ ) entre o intervalo [a,b].

Calma!!! Vamos fazer com calma passo a passo!

Passo 2

Vamos pegar os extremos de cada intervalo e substituir na função do enunciado pra ver o que vai acontecer! Começando com a opção (a). Calculando f ( - 2,0 ) e f ( - 1,5 ) temos:

f x = x 3 - x 2 + 3

Substituindo x = - 2,0 temos

f - 2,0 = - 2,0 3 - ( - 2,0 ) 2 + 3

Fazendo as continhas, temos

f - 2,0 = - 9

Beleza... Temos como resultado um valor negativo, certo?! Agora vamos calcular f ( - 1,5 ) :

f x = x 3 - x 2 + 3

Substituindo x = - 1,5 :

f - 1,5 = - 1,5 3 - ( - 1,5 ) 2 + 3

Fazendo as continhas, temos

f - 1,5 = - 2,625

O resultado é outro valor negativo, concorda?!

Com o teorema de Bolzano, temos que multiplicar

f - 2,0 ∙ f - 1,5

E se o resultado da multiplicação for um número menor que zero, então temos uma raiz no intervalo!

Fazendo as continhas, temos

f - 2,0 ∙ f - 1,5 = - 9 ∙ - 2,625 = 23,625

Opa!! O resultado deu um número positivo, ou seja, não podemos garantir que temos uma raiz nesse intervalo!

Passo 3

Vamos continuar com o mesmo raciocínio para os outros intervalos! Para o intervalo da opção (b), temos

f x = x 3 - x 2 + 3

Substituindo x = - 1,5 :

f - 1,5 = - 1,5 3 - ( - 1,5 ) 2 + 3

Fazendo as continhas, temos

f - 1,5 = - 2,625

Temos um valor negativo! Agora no outro extremo do intervalo, temos

f x = x 3 - x 2 + 3

Substituindo x = - 1,0 :

f - 1,0 = - 1,0 3 - ( - 1,0 ) 2 + 3

Fazendo as continhas, temos

f - 1,0 = 1

Aqui o nosso resultado deu um número positivo! Vamos agora utilizar o Teorema de Bolzano para verificar se temos alguma raiz nesse intervalo ( - 1,5 ;   - 1,0 ) :

f - 1,5 ∙ f - 1,0 = - 2,625 ∙ 1 = - 2,625

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzao então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo [ - 1,5 ;   - 1,0 ] .

Já sabemos que a nossa resposta é a letra B! Mas vamos fazer as continhas nos outros intervalos para verificarmos o que vai acontecer?

Passo 4

Para o intervalo da opção (c), temos

f x = x 3 - x 2 + 3

Substituindo x = - 1,0 :

f - 1,0 = - 1,0 3 - ( - 1,0 ) 2 + 3

Fazendo as continhas, temos

f - 1,0 = 1

Temos um valor positivo! Agora no outro extremo do intervalo, temos

f x = x 3 - x 2 + 3

Substituindo x = 0,0 :

f 0,0 = 0,0 3 - ( 0,0 ) 2 + 3

Fazendo as continhas, temos

f 0,0 = 3

Aqui o nosso resultado deu outro número positivo! Vamos agora utilizar o Teorema de Bolzano para verificar se temos alguma raiz nesse intervalo ( - 1,0 ;   0,0 ) :

f - 1,0 ∙ f 0,0 = 1 ∙ 3 = 3

OPA! A multiplicação deu um valor maior do que zero, então não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.

Passo 5

Pra fechar com chevae de ouro, vamos verificar no último intervalo ( 0,0 ; 1,0 ) :

f x = x 3 - x 2 + 3

Substituindo x = 0,0 :

f 0,0 = 0,0 3 - ( 0,0 ) 2 + 3

Fazendo as continhas, temos

f 0,0 = 3

Temos um valor positivo! Agora no outro extremo do intervalo, temos

f x = x 3 - x 2 + 3

Substituindo x = 1,0 :

f 1,0 = 1,0 3 - ( 1,0 ) 2 + 3

Fazendo as continhas, temos

f 1,0 = 3

Aqui o nosso resultado deu outro número positivo! Vamos agora utilizar o Teorema de Bolzano para verificar se temos alguma raiz nesse intervalo ( 0,0 ; 1,0 ) :

f 0,0 ∙ f 1,0 = 3 ∙ 3 = 9

OPA! A multiplicação deu um valor maior do que zero, então não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.

Beleza?!

Portanto, a nossa resposta é a letra B!

Resposta

Letra B