Considere a equação . É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo?
Passo 1
Fala Aííí!! Como podemos atacar esse exercício? Se você reparar, queremos localizar um intervalo que contenha essa raiz, certo?! Esse trabalho de encontrar o intervalo que contenha a raiz chamamos de isolar a raiz!!
Tá... mas o que vai nos garantir que um dos intervalos das opções dadas contém uma raiz??
O que vai nos garantir é o Teorema de Bolzano! Esse teorema diz que se acontecer o caso de , dizemos que existe pelo menos uma raiz com valor igual a () entre o intervalo [a,b].
Calma!!! Vamos fazer com calma passo a passo!
Passo 2
Vamos pegar os extremos de cada intervalo e substituir na função do enunciado pra ver o que vai acontecer! Começando com a opção (a). Calculando e temos:
Substituindo temos
Fazendo as continhas, temos
Beleza... Temos como resultado um valor negativo, certo?! Agora vamos calcular :
Substituindo :
Fazendo as continhas, temos
O resultado é outro valor negativo, concorda?!
Com o teorema de Bolzano, temos que multiplicar
E se o resultado da multiplicação for um número menor que zero, então temos uma raiz no intervalo!
Fazendo as continhas, temos
Opa!! O resultado deu um número positivo, ou seja, não podemos garantir que temos uma raiz nesse intervalo!
Passo 3
Vamos continuar com o mesmo raciocínio para os outros intervalos! Para o intervalo da opção (b), temos
Substituindo :
Fazendo as continhas, temos
Temos um valor negativo! Agora no outro extremo do intervalo, temos
Substituindo :
Fazendo as continhas, temos
Aqui o nosso resultado deu um número positivo! Vamos agora utilizar o Teorema de Bolzano para verificar se temos alguma raiz nesse intervalo :
OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzao então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo .
Já sabemos que a nossa resposta é a letra B! Mas vamos fazer as continhas nos outros intervalos para verificarmos o que vai acontecer?
Passo 4
Para o intervalo da opção (c), temos
Substituindo :
Fazendo as continhas, temos
Temos um valor positivo! Agora no outro extremo do intervalo, temos
Substituindo :
Fazendo as continhas, temos
Aqui o nosso resultado deu outro número positivo! Vamos agora utilizar o Teorema de Bolzano para verificar se temos alguma raiz nesse intervalo :
OPA! A multiplicação deu um valor maior do que zero, então não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.
Passo 5
Pra fechar com chevae de ouro, vamos verificar no último intervalo :
Substituindo :
Fazendo as continhas, temos
Temos um valor positivo! Agora no outro extremo do intervalo, temos
Substituindo :
Fazendo as continhas, temos
Aqui o nosso resultado deu outro número positivo! Vamos agora utilizar o Teorema de Bolzano para verificar se temos alguma raiz nesse intervalo :
OPA! A multiplicação deu um valor maior do que zero, então não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.
Beleza?!
Portanto, a nossa resposta é a letra B!
Resposta
Letra B