Exercícios Resolvidos de Teorema de Bolzano

Enunciado

Considere a função f x = e x - 4 x , onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718 . É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:

  1. ( 0 , 2 ; 0,5 )
  2. ( - 0,5 ; 0,0 )
  3. ( 0,9 ; 1,2 )
  4. ( 0,5 ; 0,9 )

Passo 1

Vamos láá!! Como conseguimos verificar em qual dos intervalos contem uma raiz da função f ?

Nós iremos utilizar o Teorema de Bolzano para descobrir qual dos intervalos contem uma raiz da função.

Tá... mas o que esse teorema diz?

Esse teorema diz que se acontecer o caso de f a . f b < 0 , dizemos que existe pelo menos uma raiz com valor igual a ξ ( x = ξ ) entre o intervalo [a,b].

Calma!!! No fundo o que temos que fazer é testar valores na função e verificar se a multiplicação deles dará um valor menor do que zero. Se isso acontecer, o teorema nos garante que tem uma raiz no intervalo entre esses pontos.

Passo 2

Vamos pegar os extremos do intervalo e substituir na função do enunciado pra ver o que vai acontecer! Assim, calculando f - 0 , 2 e f 0,5 temos:

f x = e x - 4 x

Substituindo x = 0,2   temos

f 0,2 = e 0,2 - 4 ( 0,2 )

No enunciado é dada a aproximação para e ≅ 2,718 . Assim, ficamos com

f 0,2 = 2,718 0,2 - 4 ( 0,2 )

Fazendo as continhas, temos

f 0,2 = 0,42

Beleza... Temos como resultado um valor positivo, certo?! Agora vamos calcular f 0,5 :

f x = e x - 4 x

Substituindo x = 0 , 5   temos

f 0 , 5 = e 0 , 5 - 4 ( 0 , 5 )

Utilizando a aproximação para e ≅ 2,718 , ficamos com

f 0 , 5 = 2,718 0 , 5 - 4 ( 0 , 5 )

Fazendo as continhas, temos

f 0 , 5 = - 0,35

O resultado é um valor negativo, concorda?!

Com o teorema de Bolzano, temos que multiplicar

f 0 , 2 ∙ f 0,5

E se o resultado da multiplicação for um número menor que zero, então temos uma raiz no intervalo!

Fazendo as continhas, temos

f 0 , 2 ∙ f 0,5 = 0,42 ∙ - 0,5 = - 0,21

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzao então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo [ 2 ; 3 ] .

Já sabemos que a nossa resposta é a letra A! Mas vamos fazer as continhas nos outros intervalos para verificarmos o que vai acontecer?

Passo 3

Vamos continuar com o mesmo raciocínio para os outros intervalos só para verificar que não conseguimos dizer se eles possuem raízes ou não! Para o intervalo da opção (b), temos

f x = e x - 4 x

Substituindo x = - 0,5   temos

f - 0,5 = e - 0,5 - 4 ( - 0,5 )

No enunciado é dada a aproximação para e ≅ 2,718 . Assim, ficamos com

f - 0,5 = 2,718 - 0,5 - 4 ( - 0,5 )

Fazendo as continhas, temos

f - 0,5 = 2,60

Beleza... Temos como resultado um valor positivo, certo?! Agora vamos calcular f 0 , 0 :

f x = e x - 4 x

Substituindo x = 0 , 0   temos

f 0 , 0 = e 0 , 0 - 4 ( 0 , 0 )

Utilizando a aproximação para e ≅ 2,718 , ficamos com

f 0 , 0 = 2,718 0 , 0 - 4 ( 0 , 0 )

Fazendo as continhas, temos

f 0 , 0 = 1

O resultado é outro valor positivo, concorda?! Vamos agora utilizar o Teorema de Bolzano para verificar se temos alguma raiz nesse intervalo ( - 0,5 ; 0,0 ) :

f - 0,5 ∙ f 0,0 = ( 2,60 ) ∙ ( 1 ) = 2,60

OPA! A multiplicação deu um valor maior do que zero, então não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.

Passo 4

Se continuarmos com o mês raciocínio para os intervalos das letras (c) e (d), teremos

Para o intervalo   ( 0,9 ; 1,2 )

f 0,9 = - 1,14

E

f 1,2 = - 1,48

Portanto,

f 0,9 ∙ f 1,2 = ( - 1,14 ) ∙ ( - 1,48 ) = 1,68

Logo, não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.

Para o intervalo ( 0,5 ; 0,9 ) :

f 0 , 5 = - 0,35

E

f 0,9 = - 1 , 14

Portanto,

f 0,5 ∙ f 0,9 = ( - 0,35 ) ∙ ( - 1 , 14 ) = 1 , 54

Logo, não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.

Resposta

Letra A