Considere a função , onde é um número irracional com valor aproximado de É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
Passo 1
Vamos láá!! Como conseguimos verificar em qual dos intervalos contem uma raiz da função ?
Nós iremos utilizar o Teorema de Bolzano para descobrir qual dos intervalos contem uma raiz da função.
Tá... mas o que esse teorema diz?
Esse teorema diz que se acontecer o caso de , dizemos que existe pelo menos uma raiz com valor igual a () entre o intervalo [a,b].
Calma!!! No fundo o que temos que fazer é testar valores na função e verificar se a multiplicação deles dará um valor menor do que zero. Se isso acontecer, o teorema nos garante que tem uma raiz no intervalo entre esses pontos.
Passo 2
Vamos pegar os extremos do intervalo e substituir na função do enunciado pra ver o que vai acontecer! Assim, calculando e temos:
Substituindo temos
No enunciado é dada a aproximação para . Assim, ficamos com
Fazendo as continhas, temos
Beleza... Temos como resultado um valor positivo, certo?! Agora vamos calcular :
Substituindo temos
Utilizando a aproximação para , ficamos com
Fazendo as continhas, temos
O resultado é um valor negativo, concorda?!
Com o teorema de Bolzano, temos que multiplicar
E se o resultado da multiplicação for um número menor que zero, então temos uma raiz no intervalo!
Fazendo as continhas, temos
OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzao então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo .
Já sabemos que a nossa resposta é a letra A! Mas vamos fazer as continhas nos outros intervalos para verificarmos o que vai acontecer?
Passo 3
Vamos continuar com o mesmo raciocínio para os outros intervalos só para verificar que não conseguimos dizer se eles possuem raízes ou não! Para o intervalo da opção (b), temos
Substituindo temos
No enunciado é dada a aproximação para . Assim, ficamos com
Fazendo as continhas, temos
Beleza... Temos como resultado um valor positivo, certo?! Agora vamos calcular :
Substituindo temos
Utilizando a aproximação para , ficamos com
Fazendo as continhas, temos
O resultado é outro valor positivo, concorda?! Vamos agora utilizar o Teorema de Bolzano para verificar se temos alguma raiz nesse intervalo :
OPA! A multiplicação deu um valor maior do que zero, então não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.
Passo 4
Se continuarmos com o mês raciocínio para os intervalos das letras (c) e (d), teremos
Para o intervalo
E
Portanto,
Logo, não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.
Para o intervalo :
E
Portanto,
Logo, não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.
Resposta
Letra A